Riman ( Riemann)
Riman sinh ngày 17//1826 trong một làng nhỏ ở Đức.Riman lớn lên trong một gia đình nghèo , nhưng đầm ấm.Riman vốn nhút nhát . Lớn lên ông khắc phục nhược điểm này bằng cách chuẩn bị rất cẩn thận khi phải nói trước đám đông . Tính nhút nhát này hoàn toàn tương phản với tư duy khoa học rất dũng cảm của ông.Cậu bé Riman học vỡ lòng dưới sự hướng dẫn của chính cha cậu.Ngay trong những buổi học đầu , cậu bé đã biểu lộ một khát vọng trong học tập thật mãnh liệt.Cậu bé rất thích học lịch sử , đặc biệt là lịch sử nước Ba Lan.Mới 5 tuổi , cậu đã luôn luôn yêu cầu cha kể về những cuộc đấu tranh anh hùng của dân tộc Ba Lan.Lên 6 tuổi , cậu học Số Học .Thiên tài toán học tự nhiên của cậu đã sớm bộc lộ .Không những cậu giải được tất cả các bài toán cha cậu ra ,cậu còn tự đặt ra những bài toán khó để đố anh em cậu.Năm lên 10 , cậu học Số Học và hình học với một thầy giáo , nhưng ông này thường không suy nghĩ nhanh bằng cậu và cậu thường tìm ra được những lời giải hay hơn.Năm 14 tuổi , Riman vào học trung học.Ông hiệu trưởng nhà trường nhận thấy ngay khả năng về toán của cậu.Ông cho phép cậu mượn sách của ông để đọc .Riman thưa với ông cho cậu mượn những cuốn sách không quá dễ .Cậu chọn trước hết "Lí thuyết số" của Legedre.Đó là cuốn sách mà nội dung rất khó.Sáu ngày sau , cậu mang sách trả . Ông hiệu trưởng hỏi " Em đọc đến đâu rồi?".Riman đưa ra một nhận xét để thay câu trả lời: "Đây là cuốn sách rất hay, em đã hiểu hết ".Điều này hoàn toàn đúng vì đến ki thi cậu trả lời một cách xuất sắc những câu hỏi về nội dung cuốn sách, mặc dù suốt mấy tháng cậu không đọc lại.

Năm 1845 vừa 19 tuổi để vâng lời cha , Riman ghi tên vào học khoa ngôn ngữ và thần học của trường đại Gơtingghen song vẫn tiếp tục nghe giảng các giáo trình về toán như lí thuyết phương trình và lí thuyết tích phân .Riman gửi thư cho cha xin phép được đổi môn học.Người cha độ lượng đông ý điều này làm cho Riman rất mừng rỡ.Sau một năm học tập ở trường đại học chuyển sang ở Beclin để được làm quen với toán học mới mẻ và sinh động của jacôbi , đirichlê....Năm 1851 25 tuổi Riman bảo vệ luận án tiến sĩ trước một hội đồng khoa học do Gauxơ làm chủ khảo và Riman được đánh giá rất cao.Năm 1859 Riman được đề cử thay đirichlê người kế tục thứ nhất của Gauxơ làm giáo sư toán học tại trường đại học Gơtinghen .Năm 1860 Riman tham gia Viện hàn lâm khoa học pháp.Riman mất ngày 20/7/1866 khi ông mới 40 tuổi.Tên của Riman được đặt tên cho một miệng núi lửa ở Mặt Trăng.

Evariste Galois-cuộc đời ngắn ngủi

Évariste Galois (25 tháng 10, 1811 – 31 tháng 5, 1832) là một thiên tài toán học người Pháp đoản mệnh, nhưng các công trình toán học ông để lại là một đề tài rất quan trọng cho việc tìm nghiệm của các phương trình đa thức bậc cao hơn 4 thông qua việc xây dựng lý thuyết nhóm trừu tượng mà ngày nay được gọi là lý thuyết nhóm Galois, một nhánh quan trọng của đại số trừu tượng. Galois là người đầu tiên dùng từ groupe (nhóm) như là một thuật ngữ toán học để biểu thị cho nhóm hoán vị. Ông chết trong một cuộc đấu súng khi tuổi mới 21.

Tiểu sử
Sinh ra tại Bourg-la-Reine, trong một gia đình lễ giáo. Cha ông là Nicholas Gabriel Galois, một hiệu trưởng trường trung học và từng là thị trưởng của Paris. Mẹ ông, Adélaïde Marie Demante, là người đã dạy dỗ Galois khi còn bé cho đến lúc 12 tuổi.

Năm 1823, khi 12 tuổi, ông học nội trú tại trường Collège royal (sau này là trường Louis-le-Grand). Ông bị lưu ban trong niên khóa 1826-1827 vì học yếu về môn hùng biện.

Tháng hai năm 1827, ông được vào học lớp toán với M. Vernier và từ đó toán học trở thành bộ môn thực sự hấp dẫn Galois. Ông đã tìm hiểu nhiều tác phẩm về bộ môn này như là "Hình học sơ cấp" (Éléments de géométrie) của Adrien-Marie Legendre (1752-1833), "Luận về việc giải các phương trình" (Textes sur la résolution des équations) của Joseph Louis Lagrange (1736-1813) và các tác phẩm khác của những nhà toán học lừng danh như là Leonhard Euler (1707-1783), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) và Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851).

Năm 1828, Galois thi rớt trường Bách khoa (Ecole Polytechnique), một trường kỹ thuật nổi tiếng nhất ở Paris. Trở về, ông ghi tên học lớp chuyên toán trường Louis-le-Grand do Louis Richard giảng dạy và cũng là người thán phục thiên tài toán học của Galois. Ngày 1 tháng 4 năm 1829, những công trình đầu tiên của ông viết về đề tài liên phân số được đăng trên Annales de mathématiques (niên giám toán học). Sau đó, Galois đã bỏ dở nhiều môn học để tập trung nghiên cứu các tác phẩm về hình học của Legendre và nhiều tiểu luận của Lagrange.

Giữa năm 1828, ông trình bày một số tiểu luận về phương pháp giải phương trình đại số cho Viện hàn lâm khoa học Pháp. Nhưng vào tháng 7 năm 1928, một biến cố đã ảnh hưởng nghiêm trọng đến cuộc đời hoạt động về sau của Galois là việc cha ông, Nicholas Gabriel Galois, đã tự sát vì một lá thư nặc danh của một cha cố thuộc dòng Tên. Ông đã trở thành người có tâm lý cực đoan và nổ lực tham gia các hoạt động chính trị theo nhóm người Cộng Hòa (cấp tiến).

Vài tuần sau, Galois thi trượt vào trường Bách khoa lần thứ hai, trước sự ngạc nhiên của vị giáo sư dạy ông. Người ta truyền tụng rằng, lý do bị đánh rớt là vì ông đã ném miếng giẻ vào đầu một vị giám khảo khi được hỏi một câu mà ông cho là ngớ ngẩn và ngu xuẩn về lượng giác.

Học tại trường Sư phạm (Ecole Normale Supérieure), năm 19 tuổi, thầy dạy toán của ông đã đánh giá: "Người học trò này đôi khi diễn tả ý tưởng không sáng sủa, nhưng thông minh và tỏ ra một trí óc tổng hợp lỗi lạc". Trong khi đó, thầy giáo vật lí Péclet đã đánh giá mỉa mai:

"Anh ta tuyệt đối không biết gì hết. Tôi đã được nghe rằng anh ta có khả năng toán học; tôi hoàn toàn ngạc nhiên về điểm này. Khi chấm bài thi của anh, dường như anh có một tí hơi hớm thông minh hay là cái trí khôn này đã được giấu quá kỹ đến nỗi tôi không cách chi tìm ra nó!"
Galois có một cuộc đời thực sự thiếu may mắn, chẳng những nhiều công trình của ông bị bỏ xó mà còn, có trường hợp, chúng hoàn toàn bị cất vào không đúng chỗ bởi những người hữu trách. Khi Galois giao cho Augustin Louis Cauchy (1789-1857) tài liệu chứa đựng những kết quả tối quan trọng (mà chính Galois lại không lưu lại bản sao), thì Cauchy lại đánh mất. Một bản luận văn khác của ông cũng đã được đệ trình cho giải thưởng lớn về toán học của Viện Hàn Lâm, Joseph Fourier (1768-1830) tự tay lấy bản văn đó về nhà nhưng lại qua đời một thời gian ngắn sau đó và tài liệu này cũng bị thất lạc. Dưới cái nhìn của Galois, thì sự mất mát này không thể là tình cờ và cho rằng có thể Fourier đã hoặc không hiểu nổi nội dung bản văn hay là đã cố ý đánh mất nó. Ngoài Fourier ra, những người có trách nhiệm đọc qua bản văn trong hội đồng giám khảo giải thưởng còn có Sylvestre François Lacroix (1765-1843), Siméon-Denis Poisson (1781-1840), Louis Poinsot (1777-1859) và Lengendre. Chưa hết, Poisson sau này có nhận được một bản luận văn mới (bản thứ 3 của Galois) thì đã từ chối với lí do không đúng thời hạn nhưng thực sự là vì các hành vi chính trị của Galois. Cuối cùng thì Poisson cũng đã đánh giá bản luận văn này nhưng với thái độ bảo thủ:

"Những lý luận của anh ta chẳng những không đủ rõ mà còn không được phát triển để cho chúng ta đánh giá sự chính xác của chúng ... Có lẽ tốt hơn là đợi cho tác giả công bố toàn bộ công trình này trước khi đưa ra một ý kiến quyết định."
Năm 1830 Louis Phillipe lên ngôi vua, Galois và các bạn có tiếp xúc với những nhóm Cộng hòa và bị đuổi ra khỏi trường Ecole Préparatoire.

Năm 1831, nhân vì trong một bữa tiệc ông cầm bánh và một con dao đưa cho Louis Phillipe, ông đã bị bỏ tù vì tội được "diễn dịch" là gây nguy hại cho nhà vua khi ông đã cầm bánh cùng với một con dao đem đến cho vua. Ông được tha sau đó 3 tháng vì còn quá nhỏ tuổi. Tháng sau, ông lại bị bắt tù gần một năm vì sử dụng đồng phục của đội Pháo Vệ binh quốc gia (Artillerie de la Garde Nationale) vốn đã bị giải tán vì lý do đó là mối đe dọa cho ngai vàng. Ngay trong tù ông có viết về tích phân đại số và thuyết đa trị mà cho đến nay không còn tìm được tài liệu này.


Tờ giấy nháp Galois đã cố gắng viết tư tưởng lên, phần trên có chữ Femme (đàn bà) đã bị xóa nhòa.Năm 1832, nhân lúc có dịch tả, ông bị chuyển đến dưỡng đường Sieur Faultrier, ở đây, ông gặp và yêu Stephanie-Félicie Poterin du Motel. Cô gái được coi là nguyên nhân cái chết của ông. Đêm cuối trước khi chết (29 tháng 5 năm 1832), Galois đã để lại lá thư tuyệt mệnh cho Auguste Chevalier, trong đó có nêu lên phát hiện về sự liên hệ giữa lí thuyết nhóm và lời giải của các đa thức bằng căn thức.

Người ta đã không biết chắc những gì đã xảy ra lúc ông bị bắn gục nhưng có nhiều giả thuyết tin rằng ông vì người yêu và đã thách đấu với một quân nhân hoàng gia, một người bất đồng chính kiến với ông hoặc giả có thể ông bị giết vì một nhân viên an ninh của cảnh sát.

Những đóng góp toán học của Galois mãi đến năm 1843 mới được hiểu và Joseph Liouville khi xem bản thảo của ông đã tuyên bố là Galois đã giải được bài toán do Niels Henrik Abel đưa ra lần đầu tiên. Bản thảo của ông cuối cùng được công bố toàn bộ trong Journal des mathématiques pures et appliquées (Tạp chí toán lý thuyết và ứng dụng) vào khoảng tháng 10-11 năm 1846.

Pythagoras
Sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - mất khoảng năm 500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras. Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại. Trong tiếng Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp thành Pytago.

Pythagoras đã chứng minh được rằng tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi tiếng nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là "cha đẻ của số". Ông đã có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 6 TCN. Về cuộc đời và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử không dễ. Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học, và mọi sự việc đều có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ.
Tiểu sử

Pythagoras sinh tại đảo Samos (Bờ biển phía Tây Hy Lạp), ngoài khơi Tiểu Á. Ông là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông, một thương gia từ Tyre). Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone phía nam Ý, để trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrates. Theo Iamblichus, Thales, rất ấn tượng trước khả năng của ông, đã khuyên Pythagoras tới Memphis ở Ai Cập học tập với các người tế lễ nổi tiếng tài giỏi tại đó. Có lẽ ông đã học một số nguyên lý hình học, sau này là cảm hứng để ông phát minh ra định lý sau này mang tên ông tại đó.

Ngay sau khi di cư từ Samos tới Crotone, Pythagoras đã lập ra một tổ chức tôn giáo kín rất giống với (và có lẽ bị ảnh hưởng bởi) sự thờ cúng Orpheus trước đó.

Pythagoras đã tiến hành một cuộc cải cách đời sống văn hoá ở Crotone, thúc giục các công dân ở đây noi theo đạo đức và hình thành nên một giới tinh hoa (elite) xung quanh ông. Trung tâm văn hoá này có các quy định rất chặt chẽ. Ông mở riêng các lớp cho nam và nữ sinh. Những người tham gia tổ chức của Pythagoras tự gọi mình là Mathematikoi. Họ sống trong trường, không được có sở hữu cá nhân và bị yêu cầu phải ăn chay. Các sinh viên khác sống tại các vùng gần đó cũng được cho phép tham gia vào lớp học của Pythagoras. Được gọi là Akousmatics, các sinh viên đó được ăn thịt và có đồ sở hữu riêng.

Theo Iamblichus, các môn đồ Pythagoras sống một cuộc sống theo quy định sẵn với các môn học tôn giáo, các bữa ăn tập thể, tập thể dục, đọc và học triết học. Âm nhạc được coi là nhân tố tổ chức chủ chốt của cuộc sống này: các môn đồ cùng nhau hát các bài ca tụng Apollo; họ dùng đàn lyre để chữa bệnh cho tâm hồn và thể xác, ngâm thơ trước và sau khi ngủ dậy để tăng cường trí nhớ.

Lịch sử của Định lý Pythagoras mang tên ông rất phức tạp. Việc Pythagoras đích thân chứng minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại khám phá của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy. Văn bản đầu tiên đề cập tới định lý này có kèm tên ông xuất hiện năm thế kỷ sau khi Pythagoras qua đời, trong các văn bản của Cicero và Plutarch. Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ Baudhayana đã tìm ra Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 TCN, 300 năm trước Pythagoras.

Ngày nay, Pythagoras được kính trọng với tư cách là người đề xướng ra Ahlu l-Tawhīd, hay đức tin Druze, cùng với Platon.
Các môn đồ của PythagorasBài chính: Học thuyết Pythagoras
Trong tiếng Anh, môn đồ của Pythagoras thường được gọi là "Pythagorean". Đa số họ được nhớ đến với tư cách là các nhà triết học toán và họ đã để lại ảnh hưởng trên sự hình thành các tiên đề hình học, sau hai trăm năm phát triển đã được Euclid viết ra trong cuốn Elements. Các môn đồ Pythagoras đã tuân thủ một quy định về sự im lặng được gọi là echemythia, hành động vi phạm vào quy định này sẽ dẫn tới án tử hình. Trong cuốn tiểu sử Pythagoras (được viết bảy thế kỷ sau thời ông) Porphyry đã bình luận rằng sự im lặng này "không phải hình thức thông thường." Các môn đồ Pythagoras được chia vào nhóm trong được gọi là mathematikoi (nhà toán học), nhóm ngoài là akousmatikoi (người nghe). Porphyry đã viết "các mathematikoi học chi tiết và tỉ mỉ hơn về sự hiểu biết, akousmatikoi là những người chỉ được nghe giảng về các tiêu đề rút gọn trong các tác phẩm (của Pythagoras), và không được giảng giải rõ thêm". Theo Iamblichus, akousmatikoi là các môn đồ thông thường được nghe các bài giảng do Pythagoras đọc từ sau một bức màn. Họ không được phép nhìn thấy Pythagoras và không được dạy những bí mật bên trong của sự thờ phụng. Thay vào đó, họ được truyền dạy các quy luật đối xử và đạo đức dưới hình thức khó hiểu, những câu nói ngắn gọn ẩn dấu ý nghĩa bên trong. Akousmatikoi coi mathematikoi là các môn đồ Pythagoras thật sự, nhưng mathematikoi lại không coi akousmatikoi như vậy. Sau khi lính của Cylon, một môn đồ bất mãn, giết Pythagoras và một số mathematikoi, hai nhóm này hoàn toàn chia rẽ với nhau, với vợ Pythagoras là Theano cùng hai cô con gái lãnh đạo nhóm mathematikoi.

Theano, con gái của Brontinus, là một nhà toán học. Bà được cho là người đã viết các tác phẩm về toán học, vật lý, y học và tâm lý học trẻ em, dù không tác phẩm nào còn tồn tại đến ngày nay. Tác phẩm quan trọng nhất của bà được cho là về các nguyên lý của sự trung dung. Ở thời phụ nữ thường bị coi là vật sở hữu và chỉ đóng vai trò người nội trợ, Pythagoras đã cho phép phụ nữ có những hoạt động ngang quyền với nam giới trong tổ chức của ông.

Tổ chức của Pythagoras gắn liền với những điều ngăn cấm kỳ lạ và mê tín, như không được bước qua một thanh giằng, không ăn các loại đậu (vì bên trong đậu "có chứa" phôi thai người). Các quy định đó có lẽ tương tự với những điều mê tín thời sơ khai, giống như "đi dưới một cái thang sẽ bị đen đủi," những điều mê tín không mang lại lợi ích nhưng cũng không nên bỏ qua. Tính ngữ mang tính lăng nhục mystikos logos (bài nói thần bí) đã từng hay được dùng để miêu tả các công việc của Pythagoras với mục đích lăng mạ ông. Hàm ý ở đây, akousmata có nghĩa là "các quy định," vì thế những điều cấm kỵ mê tin ban đầu được áp dụng cho những akousmatikoi, và nhiều quy định có lẽ đã được tạo ra thêm sau khi Pythagoras đã chết và cũng không liên quan gì đến các mathematikoi (được cho là những người duy nhất gìn giữ truyền thống của Pythagoras). Mathematikoi chú trọng nhiều hơn tới sự hiểu tường tận vấn đề hơn akousmatikoi, thậm chí tới mức không cần thiết như ở một số quy định và các nghi lễ tâm linh. Đối với mathematikoi, trở thành môn đồ của Pythagoras là vấn đề về bản chất thiên phú và sự thấu hiểu bên trong.

Các loại đậu, màu đen và trắng, là phương tiện sử dụng trong các cuộc biểu quyết. Câu châm ngôn "abstain from beans" (tránh xa đậu) trong tiếng Anh có lẽ đơn giản chỉ sự hô hào không tham gia bỏ phiếu. Nếu điều này đúng, có lẽ nó là một ví dụ tuyệt vời để biết các ý tưởng đã có thể bị bóp méo như thế nào khi truyền từ người này qua người khác và không đặt trong đúng hoàn cảnh. Cũng có một cách khác để tránh akousmata - bằng cách nói bóng gió. Chúng ta có một số ví dụ như vậy, Aristotle đã giải thích cho họ: "đừng bước qua cái cân", nghĩa là không thèm muốn; "đừng cời lửa bằng thanh gươm", nghĩa là không nên bực tức với những lời lẽ châm chích của một kẻ đang nóng giận; "đừng ăn tim", nghĩa là không nên bực mình với nỗi đau khổ, vân vân. Chúng ta có bằng chứng về sự ngụ ý kiểu này đối với các môn đồ Pythagoras ít nhất ở thời kỳ đầu thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. Nó cho thấy rằng những câu nói kỳ lạ rất khó hiểu đối với người mới gia nhập.

Các môn đồ Pythagoras cũng nổi tiếng vì lý thuyết luân hồi của tâm hồn, và chính họ cũng cho rằng các con số tạo nên trạng thái thực của mọi vật. Họ tiến hành các nghi lễ nhằm tự làm trong sạch và tuân theo nhiều quy định sống ngày càng khắt khe mà họ cho rằng sẽ khiến tâm hồn họ tiến lên mức cao hơn gần với thượng đế. Đa số những quy định thần bí liên quan tới tâm hồn đó dường như liên quan chặt chẽ tới truyền thống Orpheus. Những tín đồ Orpheus ủng hộ việc thực hiện các lễ nghi gột rửa tội lỗi và lễ nghi để đi xuống địa ngục. Pythagoras có liên hệ chặt chẽ với Pherecydes xứ Syros, nhà bình luận thời cổ được cho là người Hy Lạp đầu tiên truyền dạy thuyết luân hồi tâm hồn. Các nhà bình luận thời cổ đồng ý rằng Pherecydes là vị thầy có ảnh hưởng lớn nhất tới Pythagoras. Pherecydes đã trình bày tư tưởng của mình về tâm hồn thông qua các thuật ngữ về một pentemychos ("năm góc" hay "năm hốc ẩn giấu") - nguồn gốc có lẽ thích hợp nhất giải thích việc các môn đồ Pythagoras sử dụng ngôi sao năm cánh làm biểu tượng để nhận ra nhau giữa họ và biểu tượng của sức mạnh bên trong (ugieia).

Cũng chính các môn đồ Pythagoras đã khám phá ra rằng mối quan hệ giữa các nốt nhạc có thể được thể hiện bằng các tỷ lệ số của một tổng thể nhỏ số (xem Pythagorean tuning). Các môn đồ Pythagoras trình bày tỉ mỉ một lý thuyết về các con số, ý nghĩa thực sự của nó hiện vẫn gây tranh cãi giữa các học giả.
Các tác phẩm
Không văn bản nào của Pythagoras còn tồn tại tới ngày nay, dù các tác phẩm giả mạo tên ông - hiện vẫn còn vài cuốn - đã thực sự được lưu hành vào thời xưa. Những nhà phê bình thời cổ như Aristotles và Aristoxenus đã tỏ ý nghi ngờ các tác phẩm đó. Những môn đồ Pythagoras thường trích dẫn các học thuyết của thầy với câu dẫn autos ephe (chính thầy nói) - nhấn mạnh đa số bài dạy của ông đều ở dạng truyền khẩu. Pythagoras xuất hiện với tư cách một nhân vật trong tác phẩm Metamorphoses của Ovid, trong đó Ovid đã để Pythagoras được trình bày các quan điểm của ông.
Ảnh hưởng tới Platon
Pythagoras hay ở nghĩa rộng hơn là các môn đồ của Pythagoras được cho là đã gây ảnh hưởng mạnh tới Platon. Theo R. M. Hare, ảnh hưởng của ông xuất hiện ở ba điểm:

Tác phẩm Cộng hòa của Platon có thể liên quan tới ý tưởng "một cộng đồng được tổ chức chặt chẽ của những nhà tư tưởng có cùng chí hướng", giống như một ý tưởng đã được Pythagoras đưa ra tại Croton.
có bằng chứng cho thấy có thể Platon đã lấy ý tưởng của Pythagoras rằng toán học, và nói chung, tư tưởng trừu tượng là một nguồn tin cậy cho sự tư duy triết học cũng như "cho các luận đề quan trọng trong khoa học và đạo đức".
Platon và Pythagoras cùng có chung ý tưởng "tiếp cận một cách thần bí tới tâm hồn và vị trí của nó trong thế giới vật chất". Có lẽ cả hai người cùng bị ảnh hưởng từ truyền thống Orpheus[1].
Sự điều hòa của Platon rõ ràng bị ảnh hưởng từ Archytas, một môn đồ Pythagoras thật sự ở thế hệ thứ ba, người có nhiều đóng góp quan trọng vào hình học, phản ánh trong Tập VIII trong sách Elements của Euclid.

Các câu trích dẫn nói về Pythagoras
"Ông ta được khâm phục đến nỗi các môn đồ của ông thường được gọi là 'những nhà tiên tri tuyên truyền ý Chúa'...", Diogenes Laertius, Lives of Eminent Philosophers, VIII.14, Pythagoras; Loeb Classical Library No. 185, p. 333
"...the Metapontines named his house the Temple of Demeter and his porch the Museum, so we learn from Favorinus in his Miscellaneous History.", Diogenes Laertius, Lives of Eminent Philosophers, VIII.15, Pythagoras; Loeb Classical Library No. 185, p. 335
"Hoa quả của đất chỉ nở một hai lần trong năm, còn hoa quả của tình bạn thì nở suốt 4 mùa"
Định lý
Cách phát biểu của Euclid:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề của nó là các cạnh tạo nên góc vuông; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, a và b là các cạnh kề, c là cạnh huyền:

Pytago đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:

Diện tích hình vuông tím bằng tổng diện tích hình vuông đỏ và xanh lam.
Tương tự, quyển Sulbasutra chép:

Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:

Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì
a(bình phương) + b(bình phương)=c(bình phương)

Descartes

René Descartes (1596–1650) là triết gia, nhà khoa học, nhà toán học người Pháp, được một số người xem là cha đẻ của triết học hiện đại.

Tiểu sử
Sinh tại La Haye, Touraine (trước đây là một tỉnh, nay gọi là một vùng của Pháp), Descartes là con của một gia đình quý tộc nhỏ, có truyền thống khoa bảng. Lên tám tuổi, ông được gửi theo học tại trường học của dòng Tên tại La Flèche ở Anjou, ông học ở đây suốt 8 năm. Bên cạnh những môn học cổ điển, Descartes còn học toán ở các thầy theo trường phái Kinh viện, một học phái chủ trương dùng lý luận của loài người để hiểu lý thuyết Ky tô giáo. Thiên Chúa giáo La Mã có ảnh hưởng mạnh mẽ đến suốt cuộc đời Descartes. Sau khi ra trường, ông theo học luật tại Đại học Poitiers, tốt nghiệp năm 1616. Tuy vậy, ông chưa hề hành nghề luật; năm 1618 ông phục vụ cho Hoàng tử Maurice de Nassau, nhà lãnh đạo của Liên hiệp các tỉnh Hà Lan, với ý định theo đuổi một cuộc đời binh nghiệp. Những năm tiếp theo, Descartes phục vụ các quân đội khác, nhưng ông đã bắt đầu tập trung vào toán học và triết học. Ông hành hương sang đất Ý từ năm 1623 đến 1624, sau đó từ 1624 đến 1628, ông ở Pháp. Trong thời gian ở Pháp, Descartes chuyên tâm nghiên cứu triết học và làm các thí nghiệm về quang học. Năm 1628, sau khi bán hết tài sản ở Pháp, ông chuyển sang sống ở Hà Lan, và sống hầu hết quãng đời còn lại ở xứ hoa tuylip. Descartes sống ở nhiều thành phố khác nhau của Hà Lan, như Amsterdam, Deventer, Utrecht, và Leiden.

Dường như trong năm đầu tiên ở Hà Lan, Descartes đã viết tác phẩm lớn đầu tiên, Essais philosophiques (Các tiểu luận triết học), xuất bản năm 1637. Tác phẩm gồm bốn phần: một tiểu luận về hình học, một về quang học, phần thứ ba về sao băng, và Discours de la méthode (Bàn luận về phương pháp), trong đó ông trình bày các nghiên cứu triết học của mình. Sau đó lần lượt ra đời các tác phẩm khác, có thể kể ra Meditationes de Prima Philosophia (Suy ngẫm về Triết học Tiên khởi, năm 1641, viết lại năm 1642) và Principia Philosophiae (Các nguyên lý triết học, năm 1644). Cuốn sau này ông dành tặng cho Công chúa Elizabeth Stuart xứ Bohemia, một người bạn thân thiết của ông ở Hà Lan. Năm 1649 Nữ Hoàng Christina nước Thụy Điển mời Descartes đến giảng dạy cho bà về triết học tại triều đình ở Stockholm. Cái lạnh khắc nghiệt của xứ Bắc Âu đã làm ông mắc bệnh viêm phổi và qua đời năm 1650.

Sau khi ông mất, giáo hội Thiên Chúa giáo La Mã đã liệt các tác phẩm của ông vào danh sách những sách cấm.

Triết học
Descartes muốn áp dụng phương pháp quy nạp hợp lý của khoa học, nhất là của toán học, vào triết học. Trước đó, triết học bị chi phối bởi phương pháp của phái Kinh viện, vốn hoàn toàn dựa theo sự so sánh và đối chiếu với quan điểm của nhà cầm quyền. Bác bỏ phương pháp này, Descartes cho rằng "Trong khi tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta không cần phải quan tâm tới những gì mà chúng ta không thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng minh bằng đại số và hình học". Qua đó ông chỉ ra rằng "không điều gì được xem là đúng cho đến khi nền tảng để tin rằng nó đúng được thiết lập". Sự chắc chắn duy nhất làm điểm xuất phát cho các nghiên cứu của ông được ông bày tỏ bằng câu nói nổi tiếng "Cogito, ergo sum", (tiếng Latinh, "Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại"). Từ tiên đề cho rằng ý thức rõ ràng về tư duy của ông chứng minh rằng ông tồn tại, Descartes kết luận là Chúa tồn tại. Chúa, theo triết học Descartes, đã tạo ra hai loại chất để tạo nên toàn bộ vạn vật. Loại thứ nhất là chất suy nghĩ, tức tinh thần, loại thứ hai là các chất mở rộng, tức thân thể.

Trong tiếng Pháp, tính từ cartésien (hoặc cartésienne - dạng giống cái) dùng để chỉ những nhân cách có xu hướng tư duy logic hơn là cả tin. Cartésien có từ nguyên là tên của Descartes. Tiếng Anh cũng có tính từ cartesian với ý nghĩa tương đương.

Khoa học
Triết học Descartes, có khi được gọi là Cartesianism (tiếng Anh), đã khiến cho ông có nhiều giải thích sai lầm về các hiện tượng vật lý. Tuy nhiên, các giải thích đó cũng có một giá trị nhất định, vì ông đã dùng những giải thích cơ học thay cho những quan điểm tinh thần mơ hồ của các tác giả đi trước. Ban đầu Descartes đã công nhận thuyết Copernic về hệ thống vũ trụ trong đó các hành tinh xoay quanh Mặt Trời, nhưng ông đã từ bỏ nó chỉ vì giáo hội Thiên Chúa La Mã phán rằng thuyết đó tà đạo. Thay vào đó ông đưa ra lý thuyết dòng xoáy – cho rằng vũ trụ được lấp đầy vật chất, ở các trạng thái khác nhau, xoáy quanh mặt trời.

Trong lĩnh vực sinh lý học, Descartes giữ quan điểm rằng máu là một chất lỏng tinh tế mà ông gọi là hồn của động vật. Ông tin rằng hồn động vật tiếp xúc với chất suy nghĩ ở trong não và chảy dọc theo các dây thần kinh để điều khiển cơ bắp và các phần khác của cơ thể.

Về quang học, Descartes đã khám phá ra định luật cơ bản của sự phản xạ: góc tới bằng góc phản xạ. Tiểu luận của ông là văn bản đầu tiên trình bày đề cập đến định luật này. Việc Descartes xem ánh sáng như một thứ áp lực trên môi trường chất rắn đã dẫn đường cho lý thuyết sóng của ánh sáng.

Toán học
Đóng góp quan trọng nhất của Descartes với toán học là việc hệ thống hóa hình học giải tích, hệ các trục tọa độ vuông góc được mang tên ông. Ông là nhà toán học đầu tiên phân loại các đường cong dựa theo tính chất của các phương trình tạo nên chúng. Ông cũng có những đóng góp vào lý thuyết về các đẳng thức. Descartes cũng là người đầu tiên dùng các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái để chỉ các ẩn số và dùng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái để chỉ các giá trị đã biết. Ông cũng đã sáng tạo ra hệ thống ký hiệu để mô tả lũy thừa của các số (chẳng hạn trong biểu thức x²). Mặc khác, chính ông đã thiết lập ra phương pháp, gọi là phương pháp dấu hiệu Descartes, để tìm số nghiệm âm, dương của bất cứ phương trình đại số nào.

Fermat


Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).

Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic. Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.

Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức.

Fourier



Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng 3 năm 1786 – 16 tháng 5 năm 1830) là một nhà toán học và nhà vật lý người Pháp. Ông được biết đến với việc thiết lập chuỗi Fourier và những ứng dụng trong nhiệt học. Sau đó, biến đổi Fourier cũng được đặt tên để tưởng nhớ tới những đóng góp của ông.

Tiểu sử
Sinh ra trong một gia đình thợ may ở Auxerre, (Pháp), và sớm trở nên mồ côi khi lên 8, ông được gửi vào nhà thờ ở Auxerre. Ở đó, Fourier được dạy dỗ bởi các tu sĩ dòng Benedict trong tu viện St. Mark. Sau đó Fourier nhận làm trợ giảng môn toán trong quân đội, nhưng không đủ tư cách vào hội đồng khoa học vì nơi đó chỉ dành cho những người trong gia đình danh giá. Trong một kì thăng nhiệm, Fourier đã thể hiện sự vượt trội của mình và được bổ nhiệm vào École Normale Supérieure năm 1795, ngay sau đó là một vị trí tại Trường Bách khoa Paris (École Polytechnique).

Lagrange



Joseph-Louis Lagrange (25 tháng 1 năm 1736 – 10 tháng 4 năm 1813) là một nhà toán học và nhà thiên văn người Ý-Pháp. Ông đã có những đóng góp quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán học, lý thuyết số, cơ học cổ điển và cơ học thiên thể. Có thể nói ông là nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỉ 18. Trước khi tròn 20 tuổi ông đã là giáo sư hình học tại trường pháo binh hoàng gia ở Torino. Vào những năm hai mươi lăm tuổi ông được công nhận là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất vì những bài báo của ông về sự lan truyền sóng và các điểm cực trị của các đường cong. Công trình nổi tiếng nhất của ông, Mécanique Analytique (4. ed., 2 vols. Paris: Gauthier-Villars et fils, 1888-89. First Edition: 1788), là một cuốn sách toán về sau trở thành cơ sở cho ngành. Với sự giới thiệu của Leonhard Euler và Jean le Rond d'Alembert, Lagrange kế nhiệm Euler để trở thành Viện trưởng Viện hàn lâm Khoa học Phổ ở Berlin. Dưới Đế chế Pháp I ông được phong nghị sỹ và bá tước. Ông được chôn cất trong điện Panthéon tại Paris.


Laplace



Pierre-Simon Laplace (23 tháng 3 1749 – 5 tháng 3 1827) là một nhà toán học và nhà thiên văn học người Pháp, đã có công xây dựng nền tảng của ngành thiên văn học bằng cách tóm tắt và mở rộng các công trình nghiên cứu của những người đi trước trong cuốn sách 5 tập với tựa đề Mécanique Céleste (Cơ học Thiên thể) (1799-1825). Cuốn sách này đã chuyển đổi các nghiên cứu về cơ học cổ điển mang tính hình học bởi Isaac Newton thành một nghiên cứu dựa trên vi tích phân, được biết đến như là cơ học (vật lý)[1].

Ông cũng là người đầu tiên đưa ra phương trình Laplace. Biến đổi Laplace xuất hiện trong tất cả các ngành toán lý — một ngành mà ông là một trong những người sáng lập. Toán tử Laplace, được sử dụng nhiều trong toán học ứng dụng, được đặt theo tên ông.

Ông trở thành bá tước của Đế chế Pháp thứ nhất vào năm 1806 và được phong hầu tước và năm 1817 sau sự khôi phục của nhà Bourbon.

Tiểu sử
Pierre Simon Laplace được sinh ra ở Beaumont-en-Auge, Normandy, là con của một gia đình nông dân, sự giáo dục của ông được tài trợ bởi một số hàng xóm giàu có nhờ khả năng học vượt trội của ông. Được một lá thư giới thiệu cho Jean le Rond d'Alembert, ông đến Paris để thử vận may. Một bài báo về các định luật cơ học đã làm d'Alembert chú ý, và ông giới thiệu một chỗ trong trường quân sự cho Laplace.

Có được một chỗ, Laplace bây giờ dốc toàn sức vào các nghiên cứu của bản thân, và trong 17 năm kế tiếp, 1771-1787, ông đã sản sinh ra hầu hết các nghiên cứu mới của riêng ông trong thiên văn học. Các công trình này bắt đầu bằng một luận án, đọc trước Viện Hàn lâm Khoa học Pháp (Académie des Sciences) vào năm 1773, trong đó ông đã chỉ ra được chuyển động của các thiên thể là ổn định, chi tiết đến lập phương của eccentricities và inclinations. Công trình này được theo sau bởi một số bài báo khác trong vi tích phân, sai số hữu hạn, phương trình vi phân, và thiên văn học.

Laplace có một kiến thức sâu rộng trong nhiều lĩnh vực khoa học và có ảnh hưởng lớn trong các cuộc thảo luận của Viện hàn lâm.

Laplace trải hầu hết cuộc đời làm việc trong ngành thiên văn học mà ông tích lũy lại được trong chứng minh về sự cân bằng động của Thái dương hệ với giả sử rằng chúng chỉ là một nhóm các vật rắn di chuyển trong chân không. Một mình ông thiết lập nên giả thuyết nebular và là một trong những khoa học gia đầu tiên đưa giả thuyết về sự tồn tại của lỗ đen và khái niệm sụp đổ trọng lực.

Ông được nhớ đến như là một nhà khoa học lỗi lạc (đôi khi được nhắc đến như là một Newton của Pháp) với một tài năng toán học tự nhiên mà không một ai cùng thời với ông sánh được. Anders Johan Lexell ghé thăm Viện Hàn lâm Khoa học Pháp ở Paris vào năm 1780-81 và kể lại rằng Laplace muốn người ta biết đến ông như là nhà toán học lỗi lạc nhất nước Pháp.

Legendre


Adrien-Marie Legendre (18 tháng 9 năm 1752 – 10 tháng 1 năm 1833) là một nhà toán học người Pháp. Ông có nhiều đóng góp quan trọng vào thống kê, số học, đại số trừu tượng và giải tích.

Đa số các công trình của ông được hoàn thiện bởi những người khác: các công trình của ông về nghiệm của các đa thức đã gợi ý cho lý thuyết Galois; các công trình của Abel về hàm số elliptic được phát triển dựa trên các ý tưởng của Legendre; một số công trình của Gauss trong thống kê và số học đã hoàn thiện các công trình trước đó của Legendre. Ông phát triển phương pháp bình phương tối thiểu, có nhiều ứng dụng trong hồi quy tuyến tính (linear regression), xử lý tín hiệu (signal processing), thống kê, và xấp xỉ các đường cong. Ngày nay, cụm từ "phương pháp bình phương tối thiểu" được dùng như là một thành ngữ dịch nguyên từ tiếng Pháp "méthode des moindres carrés".

Vào năm 1830 ông đưa ra chứng minh cho định lý cuối của Fermat cho trường hợp lũy thừa n = 5, cũng được chứng minh bởi Dirichlet vào năm 1828.

Trong số học, ông phỏng đoán luật bình phương nghịch đảo (quadratic reciprocity law), sau đó được chứng minh bởi Gauss. Ông cũng có một số công trình tiên phong trong phân bố của số nguyên tố, và các ứng dụng của giải tích vào số học. Phỏng đoán của ông vào năm 1796 Định lý số nguyên tố được chứng minh chặt chẽ bởi Hadamard và de la Vallée-Poussin vào năm 1898.

Legendre đã có nhiều công trình đáng kể đóng góp vào lý thuyết hàm số elliptic, bao gồm cả sự phân loại các tích phân elliptic, nhưng cần đến thiên tài của Abel để nghiên cứu hàm ngược của các hàm số Jacobi và giải bài toán một cách hoàn toàn.

Ông được biết đến với biến đổi Legendre, được dùng để đi từ công thức hóa Lagrangian sang Hamiltonian dùng trong cơ học cổ điển. Trong nhiệt động học nó cũng được dùng để tính enthalpy và năng lượng Helmholtz và năng lượng Gibbs từ năng lượng nội tại.

Ông cũng viết cuốn sách nổi tiếng Éléments de géométrie (Các cơ sở của hình học) vào năm 1794

Pascal


Blaise Pascal sinh tại Clermont Ferrand, miền Auvergne nước Pháp, ngày 19 tháng 6 năm 1623. Cha của Pascal, ông Etienne, trước kia là một luật gia tại thành phố Paris và vào lúc Pascal chào đời, ông là chánh án tòa Hộ tại Clermont. Khi Pascal lên 3 tuổi, bà mẹ Antoinnette Bégan từ trần, để lại cho chồng 3 người con là Gilberte, Blaise và Jacqueline lúc đó đều còn quá nhỏ.

Ngay từ mới tập nói, Pascal đã tỏ ra là một đứa trẻ có năng khiếu khác thường. Lớn lên, Pascal thường hỏi người lớn những câu hỏi hắc búa và cậu cũng trả lời được những câu hỏi thật khó giải đáp. Những điều này làm cho ông Etienne tin tưởng rằng con của ông là một thiên tài, vì vậy ông quyết định lấy cách giáo dục con. Nguyên tắc của ông là luôn luôn khiến cho đứa trẻ làm các việc khó khăn hơn, tiến bộ hơn.

Vào năm 1631, ông Etienne nhường chức vụ của mình cho người khác rồi dọn nhà lên thành phố Paris để chăm sóc sự học vấn của con. Ông tự đảm trách việc giáo huấn và vì vậy, Pascal không có thầy giáo nào khác ngoài người cha thân yêu tài ba. Cậu được dạy cách quan sát, suy tưởng và thường học được những kiến thức qua các cuộc đàm luận với cha. Khởi đầu, ông Etienne quyết định dạy con tiếng La Tinh và Hy Lạp cho đến năm 12 tuổi, tuy nhiên trong các thời giờ nhàn rỗi, ông Etienne cũng kể cho con trai nghe các câu chuyện về Khoa Học nhưng những điều này không bao giờ làm cho Pascal thỏa mãn, cậu luôn luôn khao khát những lý lẽ cuối cùng của sự vật.

Vì muốn con chuyên tâm về tiếng La Tinh và Hy Lạp là hai ngôn ngữ rất khó học, nên ông Etienne đã cất dấu tất cả những sách về Khoa Học và Toán Học. Nhưng rồi một hôm, khi bước vào phòng, ông thấy con trai đang loay hoay dùng phấn chứng minh trên nền nhà định luật thứ nhất trong 32 định luật của Euclide. Sau khi nghe con thuật lại cách chứng minh, ông Etienne đã phải bỏ nhà, chạy sang nhà ông hàng xóm Le Pailleur để "khóc lên vì sung sướng".

Xưa nay, ông Etienne chưa từng dạy cho con học Toán bao giờ, vả lại định luật của Euclide đó là một bài toán rất khó đối với người lớn, không phải dành cho trẻ em 12 tuổi. Pascal đã chứng minh được rằng tổng số các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông, đúng như Euclide đã từng phát biểu. Cũng vì chưa từng học Hình Học, Pascal đã gọi đường tròn là "cái tròn" (un rond), đường thẳng là "cái thước kẻ" (une barre). Từ đây, Pascal mới được cha cho phép đọc các cuốn khái luận của Euclide. Do trí thông minh sẵn có, Pascal đọc tới đâu, hiểu tới đó mà không cần một ai giảng giải. Cậu còn giải được nhiều bài toán khó. Sự tự tìm hiểu do ý thích đã khiến Pascal chẳng bao lâu trở thành một nhà toán học có hạng.

Thời bấy giờ, ông Etienne thường gặp gỡ nhiều nhân vật danh tiếng về Khoa Học nên Pascal cũng được tham dự vào các buổi hội thảo, cậu được làm quen với Cha Mersenne là một nhà bác học thời đó, cũng như với những nhà khoa học danh tiếng khác, chẳng hạn như Desargues, Fermat, Roberval. Tại các buổi họp này, Pascal đã góp ý kiến về các tư tưởng, các lý luận, các lời phê phán những tác phẩm của các nhà bác học đương thời. Cậu cũng trình bày những điều do mình khám phá.

Theo phương pháp Hình Học của Desargues, Pascal đã hoàn thành cuốn "Khảo Sát về Thiết Diện Côníc" (Traité des sections coniques, 1640) khi chưa tới 16 tuổi. Tác phẩm này bao gồm các công trình của Apollonius, nhưng đã được Pascal tự tìm ra và lại chứng minh bằng một phương pháp luận lý vừa đơn giản hơn, vừa tổng quát hơn. Tác phẩm của Pascal đã khiến rất nhiều nhà toán học tài ba đương thời phải khâm phục, kể cả Cha Mersenne và Descartes, và ai cũng đồng ý rằng cuốn sách đó xứng đáng là công trình của một bậc thầy chứ không phải là của một thiếu niên chưa đủ 16 tuổi. Nhiều người đã thúc dục Pascal đưa in tác phẩm nhưng do lòng khiêm tốn, cậu đã từ chối vì vậy ngày ngay người ta chỉ còn lưu giữ được hai cuốn sách đầu tay của nhà thiên tài toán học Pascal.

Năm 1638, khi chính phủ Pháp ra lệnh giảm bớt lợi tức của Tòa Đô Chính Paris, một nhóm người đã đứng lên phản đối trong đó có người cha của Pascal. Vì vậy ông Etienne bị Thủ Tướng Richelieu cho người theo dõi và phải trốn về miền Auvergne. Lúc bấy giờ, Pascal 15 tuổi và cô em gái Jacqueline 13. Giống như anh trai, Jacqueline cũng nổi tiếng là một thần đồng về thơ văn. Khi lên 11 tuổi, Jacqueline đã sáng tác được một kịch thơ 5 hồi và tác phẩm thơ này đã được giới văn nghệ Paris ưa chuộng. Rất nhiều người và ngay cả Thi Hào Corneille đều ưa thích đọc thơ của Jacqueline.

Nhờ tài năng về Thơ Phú, Jacqueline được phép đóng kịch trước Hồng Y Giáo Chủ Richelieu. Vị Thủ Tướng này đã không tiếc lời khen ngợi cô bé và hỏi thăm về gia cảnh. Nhân lúc này, Jacqueline liền ngâm một bài thơ xin ân xá cho cha và Thủ Tướng đã nhận lời. Ông Etienne nhờ vậy được phép trở lại Paris và lại được cử giữ chức vụ Giám Đốc Thuế Vụ miền Rouen. Nhưng trách nhiệm này làm ông Etienne mệt mỏi vì sổ sách kế toán quá nhiều. Để giúp đỡ cha, Pascal đã sáng chế ra một chiếc máy tính mà nguyên tắc của nó còn được áp dụng cho các loại máy tính tối tân ngày nay. Phát minh này đã làm dang tiếng của Pascal vang lừng.

Vào các năm trước, gia đình Pascal tuy ngoan đạo nhưng tôn giáo chưa được coi là quan trọng cho tới năm 1646, dòng tu khổ hạnh (Jansenism) của Cơ Đốc Giáo đã ảnh hưởng tới vùng Pascal cư ngụ. Đây là nhóm tôn giáo chủ trương do ông Cornelis Jansen, một giáo sư thần học gốc Hòa Lan, sống tại Louvain. Các niềm tin của giáo phái này khác hẳn với các lời rao giảng của các giáo sĩ Dòng Tên (the Jesuites). Ông Etienne Pascal, do không ưa thích tôn giáo, nên đã mang gia đình dọn lên thành phố Paris. Tới khi ông Etienne qua đời vào năm 1651, cô em gái Jacqueline của Pascal liền vào nhà tu tại Port Royal. Do ảnh hưởng này, Pascal đã để tâm tới tôn giáo cũng như tới các vấn đề thần học.

Cũng vào năm biết tới dòng tu Khổ Hạnh, Pascal đã thực hiện lại các thí nghiệm của Torricelli và phổ biến các điều khám phá của mình trong tác phẩm "Các thí nghiệm mới liên quan tới khoảng chân không" (Nouvelles expériences touchant le vide, 1647). Pascal đã dựa vào thí nghiệm rồi dùng lý luận, đánh đổ các quan niệm cổ xưa của Aristotle về chân không và ông cũng đưa ra những khám phá mới về áp suất không khí. Pascal đã tìm thấy kết luận rằng càng lên cao, áp suất của không khí càng giảm đi. Để kiểm chứng điều này, Pascal đã nhờ người anh rể là Florin Perier lên ngọn núi Puy-de-Dome thực hiện nhiều thí nghiệm cần thiết. Các kết quả của Perier đã xác nhận lời tiên đoán của Pascal. Do khám phá này của Pascal, các nhà khoa học đã chế tạo được các phong vũ biểu và các cao độ kế.

Trong khi nghiên cứu các thí nghiệm của Torricelli, Pascal còn tìm cách tổng quát hóa những ý niệm về chất lỏng. Ông đã thiết lập nhiều định luật về áp suất của chất lỏng để rồi phổ biến qua tác phẩm :"Khảo sát sự cân bằng chất lỏng" (Traité de l 'équilibre des liqueurs). Cuốn sách này được hoàn thành vào năm 1651 nhưng mãi tới năm 1663 mới được xuất bản và căn cứ vào đó, nhiều nhà khoa học đã coi Pascal là một trong những người sáng lập ra môn Thủy Động Học (Hydrodynamics).

Sau khi người cha thân yêu qua đời, Pascal không chuyên tâm nhiều vào việc khảo cứu khoa học. Ông thường giao du với nhiều người, nhất là Hầu Tước trẻ tuổi De Roannez và Hiệp Sĩ De Mere. Chính trong thời kỳ này, ông đã chuyên đọc về Epictète và Montaigne. Do sự đi lại với De Mere, Pascal đã lưu tâm tới lý thuyết toán học của cách đánh bài. Ông bắt đầu nghiên cứu phép tính Sác Xuất (Probability) rồi vào năm 1654, đã phổ biến các kết quả qua các bức thư viết cho Fermat và qua cuốn "Khảo Sát về Tam Giác Số Học" (Traité du triangle arithmétique).

Cũng vào năm 1654, Pascal tới Port Royal thăm cô em gái Jacqueline đang sống trong tu viện. Cuộc đi thăm này khiến cho Pascal cảm thấy "ghê tởm cực độ các sự giả dối của đời người". Sự bất toại nguyện càng tăng thêm cho tới khi "đêm lửa" xẩy đến, làm thay đổi hẳn cuộc sống cũ của Pascal. Chính vào đêm 23 tháng 11 năm 1654 đó, trong khi đang khảo cứu Toán Học, Pascal cảm thấy như được đối thoại cùng Thượng Đế trong hai tiếng đồng hồ. Pascal thấy mình đã nhận lãnh một chức vụ thiêng liêng, rồi vì quá xúc động, ông nguyện hiến cả đời mình cho Thượng Đế và quyết tâm làm tỏ đức tin nơi Đấng Chí Tôn.

Vào năm 1655, Antoine Arnauld, nhà thần học chính thức của Port Royal bị các nhà thần học Sorbone kết án, nhất là về lối tu khổ hạnh (Jansenism) đối với Chúa Cứu Thế. Có lẽ do chính Arnauld khuyến dụ, Pascal đã viết ra các bức thư Provinciales. Lối hành văn cũng như cách tranh luận của Pascal qua tác phẩm này đã quyến rũ được dân chúng Paris, nhất là trong khoảng thời gian từ tháng Giêng năm 1656 tới tháng 4 năm 1657. Khi sống tại Port Royal, Pascal được mời viết cho nhà trường các bài giảng về Hình Học, có lẽ vì lý do này, Pascal đã viết nên cuốn "Phương Pháp chứng minh Hình Học" (On Geometrial Demonstrations).

Thời còn thơ ấu, thể chất của Pascal rất mỏng manh, nên khi lớn lên, tình trạng sức khỏe của ông cũng không được khá. Vào năm 1658, Pascal lại bị chứng đau răng hành hạ và vì muốn tìm quên nỗi đau nhức, Pascal quay ra làm Toán. Ông nghiên cứu hình học Cycloide, là thứ hình học đang được Roberval và các nhà toán học đương thời khảo sát. Pascal đã tìm ra được nhiều tính chất quan trọng nhưng vì muốn chứng tỏ các điều khám phá của mình có thể giải đáp được nhiều bài toán hắc búa, Pascal đề nghị một cuộc thách đố vói các nhà toán học. Nhiều người đã nhận lời trong đó có Wallis và Laouère, nhưng rồi chỉ có Pascal cho ra các kết quả hoàn toàn.

Alembert


Jean le Rond d'Alembert (16 tháng 11 năm 1717 – 29 tháng 10 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lí, nhà cơ học, triết gia người Pháp. Ông là người đồng chủ biên và xuất bản cùng với Denis Diderot cuốn từ điển Encyclopédie. Phương pháp giải phương trình sóng của d'Alembert được đặt theo tên ông.

Thời trẻ
D'Alember sinh tại Paris, là con ngoài giá thú của nhà văn Claudine Guérin de Tencin và kị sỹ Louis-Camus Destouches, một sĩ quan pháo binh. Destouches đã ở nước ngoài khi d'Alembert được sinh ra và hai ngày sau đó mẹ của ông đã để ông trên trên bậc thang lối vào nhà thờ Saint-Jean-le-Rond de Paris. Theo tục lệ, ông được đặt tên theo tên của người bảo trợ của nhà thờ. D'Alembert được giao cho một nhà nhà trẻ mồ côi trông nom nhưng sớm được nhận nuôi bởi người vợ của một thợ lắp kính. Destouches bí mật trả tiền cho sự giáo dục của Jean le Rond, nhưng không muốn công khai công nhận là cha.

Các nghiên cứu
D'Alembert lúc đầu học ở trường tư. Destouches đã để lại cho d'Alembert một khoản tiền trợ cấp trị giá 1200 livre khi ông chết năm 1726. Chịu ảnh hưởng của gia đình Destouches, D'Alembert đã đến học tại trường Collège des Quatre-Nations. Tại đây ông nghiên cứu triết học, luật và nghệ thuật, và tốt nghiệp vào năm 1735. Sau đó, D'Alembert đã bác bỏ nguyên lý của René Descartes, nguyên lý mà ông được học tại trường: "physical premotion, innate ideas and the vortices".

Kolmogorov


Andrey Nikolaevich Kolmogorov (tiếng Nga: Андре́й Никола́евич Колмого́ров; 25 tháng 4 năm 1903 – 20 tháng 10 năm 1987) là một nhà toán học Liên Xô đã có nhiều đóng góp lớn trong lý thuyết xác suất và tô pô. Sinh ra trong một gia đình người Nga ở Tambov, Nga, ban đầu của sự nghiệp ông làm về logic, và chuỗi Fourier. Ông cũng làm về chuyển động hỗn loạn, cơ học cổ điển, và tin học. Tuy nhiên, công trình quan trọng nhất của ông là các đóng góp trong lý thuyết xác suất, các biến ngẫu nhiên, và quá trình ngẫu nhiên và đặt chúng lên một nền tảng toán học vững chắc. Một phương trình quan trọng ông phát triển trong các quá trình ngẫu nhiên gọi là phương trình Chapman-Kolmogorov, với sự quan trọng trong ngành này tương tự như là phương trình E = mc^2 trong vật lý.

Kolmogorov làm việc tại Đại học Tổng hợp Quốc gia Moskva mang tên M. V. Lomonosov. Ông nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Nikolai Luzin, lấy được Ph.D. vào năm 1929. Vào năm 1931 ông trở thành giáo sư tại đại học này. Vào năm 1939 ông nhận danh hiệu Viện sỹ của Viện hàn lâm khoa học Liên Xô. Ông là người sáng lập ra lý thuyết độ phức tạp của thuật toán mà thường được nhắc đến đơn thuần là độ phức tạp Kolmogorov. Ông qua đời ở Moscow vào năm 1987.

Câu nói nổi tiếng:

"Lý thuyết xác suất như là một ngành của toán học có thể và nên được phát triển từ các tiên đề trong một cách thức chính xác như là Hình học và Đại số."

Lobachevsky


Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 tháng 12 năm 1792 – 12 tháng 2 năm 1856) là một nhà toán học Nga, người đã có công rất lớn trong việc xây dựng hình học phi Euclide, một bước phát triển mới thoát ra khỏi hình học cổ điển, tạo cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối rộng sau này.

Tiểu sử

Lobachevsky sinh tại Nizhny Novgorod, Nga. Bố là Ivan Maksimovich Lobachevsky, thư ký của một văn phòng luật, mẹ là Praskovia Alexandrovna Lobachevskaya. Cha ông mất năm 1800, sau đó, mẹ & ông rời đến Kazan. Tại đó, ông theo học trường Kazan Gymnasium, tốt nghiệp năm 1807 và sau đó là trường Đại học Kazan. Tại đây, ông được tiếp xúc với Martin Bartels (1769–1833), bạn của Carl Friedrich Gauss. Năm 1811, ông được chứng chỉ vật lý và toán học của trường ĐHTH Kazan. Năm 1814, ông bắt đầu công tác giảng dạy và năm 1822, chính thức trở thành giảng viên trường ĐHTH Kazan. Năm 1818, ông được mời làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Kazan. Ông đã từng giữ nhiều chức trách khác nhau của trường cho đến năm 1846.

Nhà toán học Gauss đã mời ông làm viện sĩ nước ngoài Viện Hàn lâm Khoa học Gottingen.

Về đời riêng, ông lấy Varvara Alexivna Moisieva năm 1832 và có với bà bảy người con.

Ông về hưu (hay có thể bị bãi nhiệm) năm 1846, và từ đó sức khỏe của ông giảm một cách nhanh chóng. Cuối cùng, ông bị mù vĩnh viễn, phải đọc cho người khác chép quyển PANGE "OMETRRIE" nổi tiếng trong lịch sử hình học thế giới.


Thành tựu toán học

Hình học Lobachevsky là hình học do ông xây dựng lên, từ ý tưởng không công nhận tính thống nhất hệ thống các tiên đề do Euclide xây dựng. Khởi đầu, các nhà toán học đương thời gọi hình học do ông xây dựng lên là hình học ảo, nhưng ngày nay hình học Lobachevsky đã trở nên rất thực được kiểm chứng qua các kết quả nghiên cứu thiên văn vũ trụ, và không gian Lobachevsky đã trở thành không gian thực.


Các tác phẩm:

Cơ sở hình học (1930)
Hình học ảo (1837)
Cơ sở mới của hình học(1838)
Khảo cứu mới về lí thuyết đường song song (1840)
Panego'me'trie

Mikhael Gromov,
nhà toán học tiên tri

Tôi không muốn sống tại Mỹ vì nơi đó người ta chỉ toàn thấy xe hơi. Có lẽ chính vì lý do này mà nhà toán học người Nga Mikhael Gromov đã cảm thấy hài lòng khi tới Pháp định cư.

“Hãy vào trang web cá nhân của ông ta, thay vào bức ảnh của mình, ông ta đã để một con khỉ và bạn cũng chẳng thấy nhiều khác biệt lắm đâu!” Alessandre Carbone, một nhà toán học trẻ đã làm việc bên cạnh Mikhael Gromov vài năm nay tại Viện nghiên cứu khoa học (IHES) vui nhộn nói (*). Thế nhưng bên trong cái vỏ bọc xấu xí này lại là một thiên tài toán học thực sự. Thiên tài, một từ mà Mikhael Gromov rất ghét bởi ông chẳng thích thú gì khi người ta nói về mình. Tuy vậy sẽ chẳng có từ nào xứng đáng hơn với người đàn ông nhã nhặn và kín đáo này. Người mà Marcel Berger, nguyên giám đốc IHES đã nhìn nhận là “có một tầm nhìn và một trực giác hình học cực kỳ sắc bén”. Có lẽ có một từ khác cũng hợp với ông: tiên tri. Bởi chỉ riêng các công trình có tính chất dự báo của ông đã xứng với hàng loạt giải thưởng lớn. Nói một cách đơn giản, Mikhael Gromov trước hết là một nhà hình học được trao cho thiên chức tư duy lại, theo phương pháp hình học và tổng quát một loạt vấn đề trong các lĩnh vực khá đa dạng khác nhau: đại số, xác suất, vật lý lý thuyết. v.v... chính ông đã chứng tỏ bằng việc sử dụng các cấu trúc mới rằng sự đóng góp của các không gian bất định vào các vấn đề truyền thống là nhiều như thế nào.

Trở lại quá khứ
Mikhael Gromov dường như cảm thấy hạnh phúc ở IHES, trong khung cảnh đầy sắc xanh của một tòa nhà sang trọng ở vùng trung tâm Paris-Iles de France, một địa điểm gần với ga đường sắt quanh đô (RER) Bures-sur-Yvette. Đây là một chi tiết có vẻ bình thường đối với ông người khác nhưng đối với ông lại cực kỳ quan trọng. đơn giản vì ông rất thích cuộc sống đô thị nhưng lại ghét ô tô. Có mong muốn gì hơn nữa đối với người đàn ông yêu thích tự do này bằng những cánh cửa rộng mở của cơ sở khoa học đầy uy tín, nơi ông luôn phải làm việc với cường độ cao nhưng hoàn toàn khác với những áp lực phù phiếm của thế giới bên ngoài. “Micha chẳng bao giờ phải đi tìm việc cả và ông hoàn toàn không chú ý gì tới những bó buộc của cuộc sống ở trường đại học”, Alessandre Carbone nhấn mạnh. Không bao giờ phải kiếm việc vì Mikhael Gromov đã biểu hiện từ rất sớm một tài năng mà tất cả các cánh cửa của các viện nghiên cứu hầu như đều tự động mở trước mặt ông, những nơi mà bao nhiêu người khác phải giành giật nhau để có thể bước vào.
Tuy nhiên, tất cả không phải đều màu hồng trong cuộc đời của nhà khoa học người Nga ra đời năm 1943 tại một chiến tuyến ở Boksitogorsk, khu vực phụ cận của Leningrad (hiện giờ là Saint-Pétersbuorg).
Cha mẹ của ông – người cha là một nhà sinh học đã trở thành bác sĩ quân y và buộc phải gia nhập Hồng quân. Tuy nhiên, những kỷ niệm tồi tệ cũng qua đi trong tâm trí của: “Tôi đã sống một năm tại Tachkent, Ouzebekistan. Thật là thú vị khi được khám phá một nền văn hóa khác lúc đó. Ngược lại, tôi cực kỳ ghét tới trường: trong 19 năm học thì 10 năm vứt đi”. Nhưng chính người mẹ của ông đã đánh thức tài năng toán học của con mình. Khi ông 9 tuổi, mẹ đã tặng ông cuốn sách toán học đầu tiên: “Con số và hình ảnh” của Rademacher và Teplitz. Tuy nhiên, lúc đó chính môn hóa học mới là môn cuốn hút ông nhất. “Môn hóa làm tôi thích thú vì tôi có thể làm các thực nghiệm ở nhà”, ông nhớ lại. Nhưng những buổi học ngoại khóa đặc biệt mà ông theo học vào năm cuối của trung học đã khiến ông thay đổi ý định. Ông chuyển sang học toán nhiều hơn vì chỉ có môn học “nhẹ nhàng” này mà người ta có thể sử dụng bằng chính cái đầu của mình”.
Trên thực tế, rất ít khi ông muốn nhắc lại những năm tháng nặng nề của tuổi thơ ấu cứ như thể là cuộc sống của ông chỉ mới bắt đầu sau thời kỳ đó: “Chính từ đó mà tôi mới cảm thấy dễ chịu. Tôi có thể làm điều mình muốn, làm việc theo nhịp riêng của mình và cũng từ lúc đó tôi bắt đầu quan tâm tới những môn học khác ngoài toán”. Việc mở rộng ra các ngành khoa học đó thực ra là một trong những đặc tính của các nhà toán học Nga thời đó. Một đặc tính mà Gromov không hề thấy ở cả Mỹ hay Pháp.
Chẳng mấy chốc, Mikhael đã được mọi người biết đến. sau khi tốt nghiệp, ông trở thành trợ giảng ở trường đại học vào năm 1967. Tới năm 1970, ông được mời đi dự một hội nghị toán học quốc tế tổ chức tại Nice (Pháp). Dù không thể đi ông vẫn gửi bài phát biểu của mình tới hội nghị, thông qua một đồng nghiệp người Anh. Năm sau đó, ở tuổi 28, ông được nhận giải thưởng của Hội toán học Matxcơva. Ông bắt đầu nổi tiếng. Cương vị trợ giảng ở đại học giúp ông có thể đi ra nước ngoài. Đây là vị trí dành cho những người mong muốn đi giảng dạy toán học ở những nước đang phát triển, bạn của Liên Xô. Ông đã chọn Sudan: nhờ vậy ông được học các khóa tiếng Anh tuyệt vời do trường đại học đài thọ chi phí. Nhưng không may, Liên Xô cắt đứt quan hệ ngoại giao với Sudan. Thế là một lần nữa ông không thể đi ra nước ngoài. Năm 1972, ông đột ngột rời công việc ở trường đại học. Đầu tiên, ông tìm đến làm việc tại một viện nghiên cứu khí tượng trong vòng một năm. Tiếp đến, ông làm việc trong một cơ sơ nghiên cứu chuyên về sản xuất bột giấy. rồi ông sang Mỹ khi có một lời mời làm giáo sư đại học New York, lúc ông ở Roma.

Cuộc sống mới
Thế giới mới đồng nghĩa với các trách nhiệm mới. lần đầu tiên trong đời của mình, ông thực sự dạy học. cho đến nay, ông vẫn không cho rằng các bài học đầu tiên mà ông dạy đã đem lại những kỷ niệm tốt cho sinh viên của mình. Lúc còn ở Liên Xô, ông là một nhà nghiên cứu trẻ tuổi nhưng ngay ngày hôm sau khi tới Mỹ, ông đã trở thành một giáo sư: “Trong vòng có một tháng, tôi đã già đi – về mặt nghề nghiệp mà nói khoảng 10 năm”, ông vui nhộn nhớ lại.
Nói một cách khác, những trách nhiệm mới đã thực sự ngang tầm tới tài năng của ông. 31 tuổi, nghiệp toán của ông đã bắt đầu đi vào quĩ đạo.
Từ năm 1981 tới nay, ông tiếp tục gặt hái các giải thưởng quốc tế. Mới đây nhất là giải thưởng Kyoto về khoa học cơ bản của quĩ Inamori mà ông nhận vào năm 2002. Tuy nhiên, ông đã rời Mỹ để tới Pháp, chính xác là vào năm 1981. Tại sao lại ra đi? Mọi việc đơn giản tựa như nó phải thế. “Tôi bắt đầu dạy khoảng 3-4 tháng mỗi năm tại Đại học Paris VI, sau đó người ta mời tôi làm việc tại IHES và thực sự tôi đã muốn ở lại”. Trong sâu thẳm của mình, ông chẳng thích thú gì với cuộc sống Mỹ tại “sa mạc” Lang Island. Ông luôn nhớ tới những hình ảnh nhộn nhịp của các thành phố Châu Âu như Paris hay Saint-Pertersbourg. Ở Mỹ, theo ông người ta mất rất nhiều thời gian: luôn phải sử dụng ô tô riêng vì các phương tiện giao thông công cộng rất ít. Người ta có thể nghĩ ngợi trong tàu hỏa nhưng không phải trên ô tô, ít nhất là như vậy...
Ngẫm nghĩ, ngẫm nghĩ và không ngừng ngẫm nghĩ, ở bất kỳ thời điểm nào, ngày cũng như đêm để đương đầu với các thách thức. Để thuận tiện cho công việc của mình, ông không dùng sổ ghi chép mà sử dụng một chiếc máy tính nhỏ. Cũng có lúc trong đầu hiện lên những kết luận mà ông cho rằng hợp lý thì cách duy nhất ông nghĩ tới là cô thư ký Helga Dermois. Cô này nhận xét: ông là người suy nghĩ rất nhanh, rất nhiều và luôn có các ý tưởng không ngừng. các bài báo ông nghĩ ra rất dài và chứa đầy các ví dụ cụ thể. Ngay khi đọc cho chúng tôi 1 văn bản nào đó, ông không mất quá nhiều thời gian để đọc lại mà thường quay sang một vấn đề khác. Ở tuổi 59, không hiểu tại sao mà ông lại luôn có những ý nghĩ sáng tạo như vậy? Có phải những nhà toán học luôn hiệu quả thời còn trẻ? “Đối với người khác thì có thể vậy nhưng Gromov thì không. Ông vẫn tiếp tục làm một cách say mê. Ông là một người cực kỳ đòi hỏi. Tôi đã cùng ông soạn những bài viết và đó là một công việc nặng nhọc nhưng rất hấp dẫn”, Alessandre Carbone kể lại. Để bỏ được thói quen hút thuốc, ông đã phải theo một chế độ đặc biệt trong 5 năm. Điều ông buồn nhất là khả năng suy nghĩ bị tụt giảm. Để khỏi buồn chán, ông đã học tiếng Ý trong vòng vài tháng. Nhưng cá tính của ông là vậy, không dừng lại ở đó. “Lúc đó chúng tôi đã buộc một sợi dây vào hai gốc cây và ông đã chỉ cho chúng tôi cách đi trên dây là như thế nào. Khác với phần lớn các nhà toán học khác, Gromov là một người rất thích thể thao”, Carbone nói. Marcel Berger còn khẳng định ông đã một lần chứng kiến Gromov nhảy một phát từ sân ga vào trong tàu hỏa qua một ... cửa sổ. Gromov nghĩ rằng mình sẽ đạt đỉnh cao trí tuệ vào tuổi 40. Nhưng kể từ khi ông bắt đầu hút thuốc trở lại thì những suy nghĩ của ông lại tiếp tục tuôn trào.
Năm 1997, trong các buổi thảo luận Bures về việc hình thành các môtíp, ông mời một số khách trong đó có cả các nhà sinh học làm việc trên lĩnh vực phân chia tế bào. Từ đó, ông dành phần lớn thời gian của mình để nghiên cứu các công trình sinh học phân tử. Một phương pháp ứng dụng liên ngành mới hiếm thấy đối với các nhà toán học Nga.

Sofia Vasilyevna Kovalevskaya

Sinh: 15/1/1850 tại Moscow, Nga
Mất : 10/2/1891 tại Stockholm, Thụy Điển
Sofia Kovalevskaya là con giữa của viên tướng pháo binh Vasily Korvin-Krukovsky, và Velizaveta Shubert, cả hai đều là những ng-ười được giáo dục của giới quý tộc Nga. Sofia được dạy dỗ bởi các gia sư-, đầu tiên sống tại Palabino, lãnh địa của Krukovsky, sau đó tại St. Petersburg, và tham gia vào nhóm xã hội của gia đình bà, trong đó có nhà văn Dostoevsky.
Sofia bị sức hấp dẫn của toán học lôi cuốn ngay từ khi còn rất nhỏ. Người chú của cô, Pyotr Vasilievich Krukovsky, một ng-ười rất quan tâm đến toán học, đã nói cho cô về những vấn đề của môn toán. Sofia viết trong tự truyện của mình:-
"ý nghĩa của các khái niệm này đương nhiên tôi không thể hiểu hết được, như-ng chúng đã tác động lên trí tưởng tượng của tôi, truyền cho tôi sự sùng bái toán học nh-ư một môn khoa học cao quý và bí hiểm, có thể mở ra một thế giới của những con ng-ười kỳ diệu, vô bờ bến."

Năm 11 tuổi, các bức tư-ờng trong căn phòng của Sofia dán đầy những trang bài giảng của Ostrogradski về ph-ép tính vi phân và tích phân. Cô nhận thấy rằng một vài thứ trong các tờ giấy này cô đã đ-ược nghe qua những câu chuyện của ng-ười chú. Việc nghiên cứu các tờ giấy dán tư-ờng là bước đầu tiên Sofia đến với các phép toán.
Dư-ới sự dẫn dắt của gia sư-, thày giáo Y I Malevich, Sofia đã chính thức đến với nghiên cứu toán học, cô đã nói rằng: "Tôi cảm thấy sức lôi cuốn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao lãng các môn học khác."

Cha của Sofia quyết định chấm dứt các bài học về toán của cô, như-ng cô đã m-ượn được một bản sao (copy) cuốn sách Đại số (Algebra) của Bourdeu và đọc vào ban đêm khi cả nhà đã đi ngủ.
Một năm sau, một ngư-ời hàng xóm, giáo sư- Tyrtov, tặng gia đình cô một cuốn sách giáo khoa vật lý do ông viết, và Sofia đã thử đọc nó. Cô không hiểu những công thức lư-ợng giác và cố gắng tự mình giải thích chúng. Tyrtov thấy khi làm việc với khái niệm hàm sin, cô đã sử dụng phư-ơng pháp suy luận giống như- sự phát triển nó trong lịch sử. Tyrtov đã nói lại với với cha của Sofia nên khuyến khích cô tiếp tục học toán, như-ng phải mất vài năm sau, ông mới cho phép cô theo học các khóa học riêng.

Sofia đã buộc phải cư-ới chồng để có thể ra nư-ớc ngoài học tiếp lên đại học (Ở Nga thời đó, phụ nữ không được học Đại học; nhưng muốn có hộ chiếu ở nước ngoài thì phải là con gái đã có chồng. Vậy mới có đám cưới giả của Sofia, đám cưới này về sau trở thành thật – ngocson52). Cha của cô không cho phép cô rời khỏi nhà để học đại học, và người phụ nữ Nga lúc đó không thể sống ngoài gia đình nếu không có văn bản cho phép của cha hoặc của chồng. Năm 18 tuổi, cô đã làm đám cưới giả với Vladimir Kovalevski, một nhà cổ sinh vật học trẻ tuổi. Cuộc hôn nhân này gây ra nhiều nhiều vấn đề rắc rối cho Sofia và, trong suốt 15 năm, đây là nguyên nhân của sự buồn phiền, cáu giận và căng thẳng triền miên và sự tập trung của cô bị chi phối bởi các cuộc tranh cãi thường xuyên và những hiểu lầm với người chồng.

Năm 1869 Sofia đến Heidelberg để học toán học và các môn khoa học tự nhiên, nhưng sau mới vỡ lẽ: các tr-ường đại học ở đây không nhận các nữ sinh. Cuối cùng cô thuyết phục được người ta cho cô dự nghe các bài giảng một cách không chính thức. Sofia đã học rất tốt ở đó ba học kỳ và, theo hồi ức của các bạn sinh viên cùng học, cô ngay lập tức thu hút chú ý với các thầy giáo với khả năng toán học khác th-ường của mình. Giáo sư- Konigsberger, nhà hóa học lỗi lạc Kirchhoff, .... và tất cả các giáo s-ư khác đều rất yêu mến cô học trò xuất sắc của mình và nói về cô nh-ư một hiện t-ượng khác th-ờng.

Năm 1871 Kovalevskaya chuyển đến Berlin để học Weierstrass, thầy của Konigsberger. Nhưng Ban giám hiệu đã từ chối việc cho phép cô tham gia các khóa học ở trư-ờng này bất chấp những cố gắng của Weierstrass và những đồng nghiệp của ông. Thật trớ trêu điều này lại giúp cô đư-ợc học riêng với Weierstrass hơn 4 năm liền.
Gần đến mùa xuân năm 1874, Kovalevskaya hoàn thành 3 bài báo. Weierstrass cho rằng mỗi một bài báo này xứng đáng với học vị tiến sĩ (doctorate). Ba bài báo này về phư-ơng trình đạo hàm riêng (Partial differential equations), tích phân Abel (Abelian integrals) và vành Saturn (Saturn's Rings). Bài báo đầu tiên đư-ợc công bố trong Tạp chí Crelle (Crelle's Journal)[/i[ năm 1875, là một sự đóng góp rất đáng chú ý. Bài báo về biến đổi tích phân Abel về các tích phân elliptic (elliptic integrals) đơn giản hơn tuy không quan trọng bằng bài báo trước như-ng có chứa hàng loạt những thao tác khéo léo chứng tỏ cô làm chủ hoàn toàn lý thuyết Weierstrass.
Năm 1874 Kovalevskaya đ-ược cấp bằng tiến sĩ, summa cum laude, của Trường Đại học Gottingen. Mặc dù có bằng tiến sĩ và thư- tiến cử đặc biệt của Weierstrass, Kovalevskaya vẫn không kiếm được một chân giảng dạy trong trường Đại học. Điều này có nhiều nguyên nhân, như-ng giới tính của bà vẫn là cản trở lớn nhất. Kết quả là suốt sáu năm bà không tiếp tục được công việc nghiên cứu và cũng không đáp lại các bức th-ư của Weierstrass. Bà cay đắng nhận ra rằng công việc tốt nhất là dạy số học trong các lớp cơ bản của trư-ờng dành cho nữ sinh.
Năm 1878, Kovalevskaya sinh con gái, như-ng từ năm 1880 cô bắt đầu trở lại với các nghiên cứu toán học của mình. Năm 1882 bà bắt đầu làm việc với khúc xạ ánh sáng (refraction of light), và viết ba bài báo về đề tài này. Năm 1916, Volterra đã nhận ra Kovalevskaya đã có một số sai lầm giống Lamé, trong các bài báo đặt có sở cho vấn đề này, mặc dù bà đã chỉ ra một số các lỗi khác mà Lamé mắc phải trong cách trình bày vấn đề của ông. Tuy vậy, bài đầu tiên trong ba bài báo có giá trị rất lớn, bởi vì nó bao gồm một sự giải thích lý thuyết của Weierstrass cho việc giải một số ph-ương trình đạo hàm riêng.
Mùa xuân năm 1883, Vladimir, ng-ười mà Sofia đã ly thân trong vòng 2 năm, đã tự tử. Sau cú sốc ban đầu, Kovalevskaya tự giam mình vào công toán học nhằm xua đi những cảm giác tội lỗi. Mittag-Leffler giúp Kovalevskaya vư-ợt qua những sự chống đối ở Stockholm, và cuối cùng đã giành đ-ược cho bà chức vụ phó giáo sư- (privat docent). Bà bắt đầu giảng dạy ở đây từ đầu năm 1884, nửa năm sau, tháng Sáu năm 1884, đư-ợc cử làm quyền giáo sư- (extraordinary professorship), và đến tháng 6 năm 1889 trở thành ng-ười phụ nữ đầu tiên sau nhà vật lý Laura Bassi và Maria Gaetana Agnesi đư-ợc giữ một chức vụ giáo sư chính thức ở một trường Đại học của châu Âu.
Trong những năm Kovalevskaya ở Stockholm, bà đã tiến hành nhiều nghiên cứu quan trọng trọng nhất. Bà giảng bài về những vấn đề mới nhất trong giải tích và trở thành Tổng biên tập tạp chí mới [i]Acta Mathematica. Bà giữ lên lạc với các nhà toán học của Paris và Berlin và tham gia vào việc tổ chức các hội nghị quốc tế. Vị trí của bà làm xã hội chú ý, bà bắt đầu viết hồi ký (reminiscences) và những vở kịch, những công việc mà bà rất yêu thích khi còn trẻ.
Chủ đề của giải th-ưởng Bordin của Viện hàn lâm Khoa học Pháp đ-ược công bố năm 1886.
Những bài tham dự phải có những đóng góp đáng kể cho bài toán nghiên cứu vật thể rắn. Kovalevskaya đã tham gia và, năm 1886, bà đư-ợc trao tặng giải thư-ởng Bordin với công trình Mémoire sur un cas particulier du problème de le rotation d'un corps pesant autour d'un point fixe, ou l'intégration s'effectue à l'aide des fonctions ultraelliptiques du temps. (Một trường hợp riêng của bài toán về sự quay một vật thể quanh một điểm cố định, nơi tích phân có tác dụng với sự ứng dụng của hàm số siêu elliptic – ngocson52). Để ghi nhận công trình xuất sắc này, tiền thư-ởng đã đ-ược nâng từ 3,000 lên 5,000 francs.
Sự nghiên cứu sâu hơn của Kovalevskaya về đề tài này đã nhận đư-ợc giải thư-ởng của Viện hàn lâm khoa học Thuỵ Điển vào năm 1889, và cùng năm đó, theo đề xuất của Chebyshev, Kovalevskaya đ-ược bầu làm viện sĩ thông tấn Viện hàn lâm khoa học Nga. Mặc dù chính phủ Nga hoàng nhiều lần khước từ việc cử bà vào một chức vụ chính thức ở tr-ường Đại học trên chính trên quê hư-ơng bà, Viện hàn lâm đã thay đổi quy định để cho phép bầu một phụ nữ làm viện sĩ.
Công trình đ-ược công bố cuối cùng của Kovalevskaya là một bài báo ngắn Sur un théorème de M. Bruns (Về một định lý của M.Bruns – ngocson52) trong đó bà đ-ưa ra một chứng minh mới, đơn giản hơn định lý Bruns về tính chất của hàm thế năng (potential function) của vật thể đồng nhất (homogeneous body). Đầu năm 1891, khi đang trên đỉnh cao của sáng tạo toán học và vinh quang, Kovalevskaya mất vì sưng phổi.

Bunhiacôpxki (Victor Yakovlevich Bunyakovsky)



Nói đến các bất đẳng thức quan trọng trong đại số, ta thường nhắc tới và vận dụng bđt Bunhiacôpxki sau đây:
"Với mọi a,b ta có bđt:



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:



Nhà toán học Nga Bunhiacôpxki sinh ngày 16-12-1804 là viện sĩ Viện Hàn lâm Pêtecbua từ khi mới 24 tuổi và sau này trở thành phó chủ tịch của Viện từ năm 1864 cho tới năm 1889 là năm ông mất. Ông mất ngày 12-12-1889

Từ 16 tuổi đến 21 tuổi ông đã theo học ở Pari, lúc đó có nhiều giáo sư nổi tiếng dạy như Laplaxơ, Phuriê, Côsi, Lơgiăngđrơ. Ông bảo vệ luận án tiến sĩ toán tại Pari vào năm 1825 lúc ông 21 tuổi.

Trở về nước, ở Pêtecbua ông đã hoạt đọng tích cực trong lĩnh vực giáo dục, giảng dạy toán cho đến năm 1846. Trong 15 năm sau, từ 1846 đến 1859 ông dạy tại trường Đại học Pêtecbua, phụ trách các môn cơ học giải tích, lí thuyết xác suất và giải tích toán học. Bắt đầu từ năm 1858, ông trở thành chuyên gia quan trọng của chính phủ về các vấn đề thống kê và bảo hiểm.

Có thể nói rằng lĩnh vực hoạt động của ông rất rộng lớn và đầy kết quả tốt đẹp. Ông đã có đến 168 công trình nghiên cứu. Công trình ưu việt của Bunhiacôpxki là lí thuyết số, lí thuyết xác suất và ứng dụng. Ông còn nghiên cứu nhiều về giải tích, hình học và đại số, quan tâm đến cả tính toán trong thực tiễn; góp phần vào việc cải tiến các tính toán của nước Nga.
Tác phẩm to lớn của ông là "Cơ sở của lí thuyết xác suất" (1846) trong đó có nhiều phần độc đáo, nhất là phần lịch sử phát sinh và phát triển môn xác suất, phần ứng dụng quan trọng của xác suất trong vấn đề bảo hiểm và dân số.v.v..

Một loạt công trình của ông về thống kê, xác suất đã góp phần đáng kể vào sự phát triển của lí thuyết thống kê ở nước Nga. Các công trình về lí thuyết số với 1 số khái niệm mới đã mang lại sự hấp dẫn đối với môn này vào thế kỉ thứ 19. Trong hình học ông cũng đã nghiên cứu về lí thuyết các đường song song.

Cùng với Ôxtrôgratxki và Trêbusep, ông đã có vai trò lớn trong việc nâng cao trình độ khoa học của việc giảng dạy toán ở đại học và mở rộng phạm vi chương trình toán ở đại học. Ông đã viết tập "Những bài giảng về toán lí thuyết và toán ứng dụng" có giá trị lớn đối với việc giảng dạy toán cũng như đối với từ vựng khoa học. Ngoài ra đối với nhà trường phổ thông Bunhiacôpxki đã viết cuốn sách giáo khoa "Số học" (1844) và cuốn "Chương trình và tóm tắt môn số học".

Ông là hội viên danh dự của tất cả các trường Đại học Nga, của nhiều hội khoa học, đồng thời là phó chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học và Viện đã đặt ra giải thưởng mang tên ông cho những tác phẩm toán học có giá trị lớn.

Euclid


Euclid là nhà toán học lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỉ thứ 3 TCN. Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được đề cập một cách có hệ thống, chính xác trong bộ sách Cơ sở gồm 13 cuốn do Euclid viết ra. Tục truyền rằng có lần vua Ptolemy I hỏi Euclid: "Liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không?". Ông trả lời ngay: "Tâu bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho vua chúa".

Euclid sinh ở Athena, sống khoảng 330-275 trước Công nguyên, được hoàng đế Ptolemy I mời về làm việc ở Alexandria, một trung tâm khoa học lớn thời cổ trên bờ biển Địa Trung Hải.

Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung, khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ sở đồ sộ của Euclid đã đặt nền móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian. Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề:

1.Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng
2.Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3.Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4.Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5.Nếu 2 đường thẳng tạo thành với 1 đường thẳng thứ 3 hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Và 5 tiên đề:

1.Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2.Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
3.Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
4.Trùng nhau thì bằng nhau.
5.Toàn thể lớn hơn một phần.
Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính chất hình học.

Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề

Thales


Đời sống

Thales sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra ở thành phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).

Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác. Có hai nguồn: một nguồn cho là ông sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ông sống khoảng 80 tuổi.

Các học thuyết
Trước Thales, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên của thế giới, vạn vật qua các câu truyện thần thoại của chúa trời, của các vị thần và các anh hùng. Các hiện tượng như sấm, sét hay động đất được cho là do các hành động của chúa trời gây ra.

Nước là khởi nguyên
Ông quan niệm toàn bộ thế giới của chúng ta được khởi nguồn từ nước. Nước là bản chất chung của tất cả mọi vật, mọi hiện tượng trong thế giới. Mọi cái trên thế gian đều khởi nguồn từ nước và khi bị phân hủy lại biến thành nước.

Với quan niệm nước là khởi nguyên của thế giới, của mọi sự vật, hiện tượng. Ông đã đưa yếu tố duy vật vào trong quan niệm triết học giải thích về thế giới. Thế giới được hình thành từ một dạng vật chất cụ thể là nước chứ không phải do chúa trời hay các vị thần.

Hình học

Định lý Thales: Định lý Thales: Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những đoạn thẳng tỷ lệ

Thiên văn học
Thales là người đầu tiên nghiên cứu về thiên văn học, hiểu biết về hiện tượng nhật thực diễn ra do mặt trăng che khuất mặt trời.

Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ vào bóng của chúng.

PLATON ( Plato) ( 427/428 - 347 TCN).

Platon là nhà toán học , triết học cổ Hy Lạp sinh tại Athens. Ông là học trò của Socrat và đi nhiều nơi để trau dồi kiến thức. Khi trở về Athens năm 387 trước công nguyên ông đã thành lập một học viện nổi tiếng đáp ứng có hệ thống các nhu cầu về toán học và khoa học và chủ trì học viện này cho đến cuối đời. Hầu như toàn bộ các công trình toán học của thế kỷ thứ tư trước công nguyên là do bạn bè và môn sinh của Platon thực hiện khiến cho học viện của ông là chiếc cầu nối của trường phái toán học Pythagoras xa xưa và trường phái toán học ở Alexandria. Anh hưởng của Platon về toán học không do những khám phá của ông mà do lòng tin vào đầy nhiệt tình của ông rằng việc nghiên cứu toán sẽ mang lại cho con người một nhãn quan được tôi luyện tinh tế nhất, và do đó thật cần thiết trong việc tu dưỡng của các triết gia và cho những người cần phải điều khiển trạng thái tư tưởng của mình. Điều này giải thích tại sao trên cổng vào học viện có biển đề "Ai không thông thạo về hình học thì xin đừng vào !". Platon là trong những người sáng lập ra phương pháp logic của toán học. Vì yếu tố logic của toán học và vì ông cảm thấy việc nghiên cứu nó sẽ tạo nên tinh thần thuần khiết, nên với Platon toán học dường như có một tầm quan trọng vô cùng và cũng chính vì vậy mà nó chiếm một vị trí đáng kể trong chương trình của học viện. Platon cũng là một nhà hình học nổi tiếng với việc tìm ra 5 hình đa diện đều. Platon cho rằng cần phải nghiên cứu thiên văn học chính xác như nghiên cứu toán học nhờ vào các định lý. Người ta còn cho rằng vào những năm cuối đời Platon đã có ý tưởng rằng Trái Đất tự quay xung quanh trục. Platon cũng là người có những cố gắng nghiêm túc đầu tiên về triết học trong toán học

Pappus


Những người kế tục trực tiếp Euclid, Archimedes và Apollonius đã kéo dài truyền thống lớn lao của hình học Hy Lạp được một thời gian, nhưng rồi sau đó dần dần yếu đi và những phát triển mới chỉ giới hạn ở thiên văn học, lượng giác học. Thế rồi vào cuối thế kỷ thứ ba sau công nguyên, sau Apollonius 500 năm, Pappus của Alexandria đã ra đời, một con người tài năng và nhiệt tình đã tìm mọi cách nhen nhúm lại chủ đề này như một ngọn lửa đã nguội dần .

Pappus đã viết những bài bình giải về tập " Cơ bản " và về cả " Dữ kiện " của Euclid, về "Almagest" và "Planispherium " cuả Ptolemy. Công trình thực sự to lớn của Pappus là "Tuyển tập toán học " của ông, một cuốn sách vừa bình giải vừa hướng dẫn về các công trình về hình học hiện hữu của thời ông. Tuyển tập toán học của Pappus thực sự là một mỏ vàng giàu có về hình học. Những lời bình trong quyển sách ấy thật sự có giá trị .Những hiểu biết của chúng ta về hình học Hy lạp là nhờ luận văn này, trong đó có trích dẫn và nhắc đến các công trình của trên 30 nhà toán học khác nhau của thời cổ đại.

Sau Pappus, nền toán học Hy Lạp không còn là một đối tượng nghiên cứu tìm ra những phát minh mới nữa mà người ta chỉ thấy những tác gia ít quan trọng và những nhà bình giải toán học như Theon của Alexandria, Hypatia ( con gái của Theon ), Proclus, Simplicius, và Eutocius. Họ đưa ra những quyển sách bình giải về các tác phẩm của Euclid, Apollonius, Archimedes

János BOLYAI Hình học Phi EUCLIDE
(Hình học LOBATCHEVSKI - BOLYAI)
Kolozsvár 1802 - Marosvásárhely 1860


Ông là người Hung, nhưng nơi sinh của ông giờ đây có tên là Cluj-Napoca thuộc lãnh thổ Rumani, và nơi ông qua đời bấy giờ có tên là Tirgu Mures và thuộc đất Rumani. Cha ông lấy tên là Farkas, vốn là bạn học của GAUSS ở Gottingen, nhưng Farkas dạy cả Toán, Lý, Hóa. Những lúc rảnh rỗi, ông tìm cách chứng minh Tiên đề về đường thẳng song song của EUCLIDE. Cho đến năm 13 tuổi, BOLYAI vẫn chưa được cha cho học hành gì, về sau BOLYAI mới được vào học trường Dòng, nơi cha ông dạy. Gia đình BOLYAI muốn theo con Khoa học như cha nhưng BOLYAI chọn con đường binh nghiệp. Sau khi du học ở Vienne từ 1818 đến 1822, ông vào quân đội và nhanh chóng bộc lộ tài năng đấu gươm. Nhưng vì sức khỏe kém, lại bị hậu quả của những cơn sốt rét nên ông phải về hưu non năm 1833. Ông theo cha ở Marosvásárhly một năm rồi quay về quản lý đất đai của gia đình ở Transylvanie. BOLYAI kế thừa niềm say mê của cha trong việc tìm cách chứng minh Tiên đề 5 của EUCLIDE. Ông đã thử chứng minh Tiên đề về đường thẳng song song (bằng cách dựa vào 4 tiên đề EUCLIDE trước đó) vào các năm 1820 - 1823 nhưng thất bại. Năm 1823 ông bỏ hẳn con đường đã theo và nghiên cứu những hệ quả của một Tiên đề mới do ông nghĩ ra: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng có ít nhất 2 đưởng thẳng song song với đường thẳng đó.

Và ông rất ngạc nhiên về sáng kiến của mình: một Hình học mới đã xuất hiện. Và thái độ phản ứng của GAUSS đã làm ông thất vọng. Nhưng ông vẫn công bố kết quả tìm ra dưới dạng phụ lục của lần tái bản tác phẩm Testamen của cha ông, rồi ông chia tay với Toán học. Tác phẩm của ông dần đi vào sự quên lãng của mọi người. Tám năm sau ngày ông mất, mô hình của BELTRAMI đã chứng minh rằng suy nghĩ của ông là đúng, nhưng đáng tiếc ông không còn nữa.

Cardano

Gerolamo Cardano hay Girolamo Cardano (tiếng Anh: Jerome Cardan, tiếng Latin:Hieronymus Cardanus; sinh 24 tháng 12 1501 - 21 tháng 12 1576) là một nhà toán học, một thầy thuốc, một nhà chiêm tinh học thời Phục Hưng người Italia.

Ông sinh tại Pavia, Italy, là con ngoài giá thú của Fazio Cardano, một luật sư tài năng, người cũng là bạn của Leonardo da Vinci. Trong cuốn tự truyện, Cardano thừa nhận rằng mẹ ông có ý định phá thai khi mang thai ông. Thời gian ngắn sau khi ra đời, mẹ của ông phải chuyển từ Milan tới Pavia để tránh bệnh dịch; ba người con khác của bà đã chết vì bệnh.

Năm 1520, Cardano học ở trường Đại học Pavia và sau đó học về nghành Y tại Padua. Lối sống lập dị của Cardano không giúp ông có nhiều bạn bè và Cardano đã có quãng thời gian khó khăn để tìm việc làm sau khi tốt nghiệp. Năm 1525, Cardano nhiều lần nộp đơn xin học trường Y ở Milan nhưng không được chấp nhận do lý lịch và khai sinh không hợp pháp.

Cuối cùng, ông cố gắng phát triển danh tiếng như là một thầy thuốc và ông là người đầu tiên giải thích về bệnh Sốt thương hàn.

Ngày nay, Cardono được biết nhiều nhất về thành tựu của ông trong đại số học. Ông đã xuất bản lời giải phương trình bậc ba và bậc bốn trong cuốn sách Ars magna. Đặc biệt là lời giải trong phương trình , x3 + ax = b, phương trình mà ông được Niccolo Fontana Tartaglia truyền lại (người sau đó nói rằng Cardano đã hứa không tiết lộ, và đã có xích mích với Cardano trong một thời gian dài). Phương trình này được giải bởi học trò của Cardano là Lodovico Ferrari. Cả hai đều được thừa nhận công lao trong lời tựa đầu của cuốn sách cũng như trong vài phần khác của cuốn sách này. Cardano cũng là người hiểu về cái ngày nay gọi là số ảo dù khi đó ông không hề biết giá trị của nó.

Cardano luôn ở trong tình trạng túng thiếu tiền bạc, điều này dẫn ông đến với cờ bạc và môn cờ. Cuốn sách của ông nói về cơ hội trong các cuộc chơi, Liber de ludo aleae, được viết vào thập niên 1560 và xuất bản năm 1663, sau khi ông chết, cuốn sách bao gồm các lý giải về các xác xuất có hệ thống cũng như một vài phương thức mánh khóe hiệu quả.

Cardano đã phát minh một vài máy móc như Khóa an toàn, la bàn với ba vòng đồng tâm cho phép la bàn và con quay quay tự do, và trục láp với nhiều trục nối nhiều chiều, cho phép phát tín hiệu chuyển động quay vòng ở nhiều góc và kỹ thuật này được sử dụng trong nhiều phương tiện xe cộ hiện nay.

Ông cũng có một vài đóng góp cho thủy động lực học và hiểu rằng chuyển động vĩnh cửu là không thể, trừ các vật thể ngoài vũ trụ. Ông cho xuất bản hai cuốn giáo khoa về khoa học tự nhiên chứa đựng nhiều phát minh, dẫn chứng và cả dị đoan. Ông cũng giới thiệu Lưới Cardan, một công cụ mật mã, năm 1550.

Cardano cũng là người đầu tiên phát biểu rằng người điếc có thể học mà không cần học cách nói trước.

Người con trai cả và yêu thích của Cardano bị hành quyết năm 1560 sau khi thừa nhận đã đầu độc người vợ ngoại tình của anh ta. Người con trai khác của Cardano là một người nghiện cờ bạc và thường xuyên ăn cắp tiền của ông. Ông bị đồn là đã từng cắt tai một trong những người con của mình. Bản thân Cardano thị bị buộc tội dị giáo năm 1570 do ông đã tính toán và xuất bản số tử vi của Jesus năm 1554. Và chính con ông lại là nhân chứng buộc tội. Cardano bị bắt giữ và phải ở tù vài tháng để từ bỏ chức giáo sư. Ông sau đó chuyển tới Rome và sống cuộc đời còn lại bằng tiền trợ cấp của Giáo hoàng Gregory XIII (sau khi bị từ chối lần đầu bởi Giáo hoàng Pius V) và hoàn thành cuốn tự truyện của mình. Cardano chết vào đúng ngày mà ông đã dự báo qua chiêm tinh, những một vài người nghi ngờ rằng ông đã tự tử.

Fibonacci


Leonardo của Pisa (khoảng 1170 – khoảng 1250), còn được biết đến với tên Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo Fibonacci, hay, phổ biến nhất, chỉ là Fibonacci, là một nhà toán học người Ý, được một số người xem là "nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ".

Fibonacci nổi tiếng nhất trong thế giới hiện đại vì:

Có công lan truyền hệ ký số Hindu-Ả Rập ở châu Âu, chủ yếu thông qua việc xuất bản vào đầu thế kỷ 13 trong cuốn Sách tính toán (Liber Abaci) của ông.
Dãy số hiện đại mang tên ông, số Fibobacci, tuy ông không phải là người khám phá nhưng đã dùng nó làm ví dụ trong cuốn Liber Abaci.

Tiểu sửLeonardo sinh ra ở Pisa. Cha ông, Guglielmo, có biệt danh Bonaccio ("hiền hậu" hoặc "đơn giản"). Mẹ của Leonardo, Alessandra, mất khi ông được chín tuổi. Leonardo sau khi chết được gọi là Fibonacci (lấy từ filius Bonacci, nghĩa là con của Bonaccio).

Guglielmo làm giám đốc một cơ sở thương mại (theo một số người ông làm cố vấn cho Pisa) ở Bugia, một hải cảng ở phía đông Algiers ở vương quốc hồi giáo Almohad ở Bắc Phi (giờ là Bejaia, Algeria). Khi còn là một cậu bé, Leonardo đã đi đến đó để giúp cha mình. Đây là nơi ông đã học hệ ký số Hindu-Ả Rập.

Tượng Fibonacci. Camposanto, Pisa.Nhận ra rằng số học với chữ số Hindu đơn giản hơn và hiệu quả hơn chữ số La Mã, Fibonacci đã đi du lịch khắp thế giới Địa Trung Hải để học theo những nhà toán học hàng đầu Ả Rập vào thời đó. Leonardo trở về sau chuyến du lịch vào khoảng năm 1200. Vào năm 1202, vào tuổi 32, ông đã phát hành những gì ông học trong Liber Abaci (Sách tính), và từ đó đã giới thiệu chữ số Hindu-Ả Rập cho châu Âu.

Leonardo trở thành vị khách thường xuyên của Hoàng đế Frederick II, người rất thích toán học và khoa học. Vào năm 1240 Cộng hòa Pisa vinh danh Leonardo, được biết đến với tên Leonardo Bigollo, bằng cách trao lương cho ông.

Vào thế kỷ thứ 19, một bức tượng Fibonacci đã được dựng lên ở Pisa. Ngày nay nó nằm ở hành lang của nghĩa trang lịch sử Camposanto ở Piazza dei Miracoli.

Galilei


Galileo Galilei (15 tháng 2, 1564 – 8 tháng 1, 1642) là một nhà vật lí, nhà toán học và nhà thiên văn học người Ý.
Cuộc đời

Tuổi thơ
Ðể nhanh chóng muốn cho con mình thành tài, từ khi Galilei còn nhỏ, Vesenxao Galilei đã bắt tay vào việc dạy dỗ con học hành. Khi Galileo biết nói, ông dã dạy cho con tiếng Latin và Hy Lạp. Cậu bé Galileo rất chăm chỉ học hành, tiến bộ rất nhanh, tiếp thu rất tốt những điều mà cha cậu dạy bảo. Và cha cậu cũng dạy thêm cậu rất nhiều tri thức khác trừ Toán học.

Hồi nhỏ, sở thích của Galileo là chơi đàn, vẽ, lao động chân tay và khi rảnh cậu thường làm đồ chơi cho các em của mình. Cậu có lòng khát khao tri thức rất mãnh liệt.

Tóm lại nói đến Galileo hồi nhỏ là nói đến 1 cậu bé đa tài! Nhưng cha cậu lại rẽ cho cậu đi một con đường khác: trở thành 1 danh y.

Năm 1572, Galilei lên 8 và vui vẻ vâng lời cha đi học. Và khi học cậu không tập trung vào lời thầy giáo giảng bài mà lại ngẩn ngơ nghĩ về mặt trăng, mặt trời và những vì sao... tuy nhiên Galilei vốn là 1 học sinh xuất sắc nhất trường ở tất cả các môn học.

Năm 1574, gia đình của cậu chuyển đến Florence. Ở dây, cậu lại tiếp tục được học vào Trường Dòng Vallambrosa thuộc Santa Maria gần Florence. Tri thức phải học của Galilei càng được mở rộng và sâu hơn sau thời kỳ Phục Hưng. Cha của cậu mang cậu vào trường cũng rất lo lắng không biết cậu có thể theo nổi không ? Và điều làm cho cha cậu và mọi người bất ngờ là cậu say mê học tập và học rất giỏi. Cậu thích Thần học đến nỗi cậu muốn chọn công việc Thần học làm 1 nghề trong đời mình.

Thời niên thiếu của Galilei đã được học tập đầy đủ, toàn diện, làm cho bao người mến mộ và hi vọng. Cậu vốn rất chăm chỉ nghiên cứu cộng thêm tố chất thông minh, dũng cảm, điều này báo trước rằng cậu sẽ trở thành 1 nhân tài vĩ đại sau này...

Tuổi trẻ
Trong thời gian học tập tại Đại học Pisa (1581-1585), Galileo đã tiến hành nhiều thí nghiệm với con lắc và khám phá ra rằng chúng gần như trở về đúng độ cao được thả ra; chúng có những chu kì khác nhau không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc và biên độ, và bình phương của chu kì tỉ lệ thuận với chiều dài dây. Sau này ông sử dụng con lắc để chế tạo đồng hồ vào năm 1641. Galileo cũng tìm ra rằng tốc độ rơi không phụ thuộc vào trọng lượng. Ông ghi những phát hiện của mình trong quyển sách có tên De Motu (Về chuyển động).
Galileo được cử làm giáo sư toán trường Đại học Padua (1592-1610). Năm 1593, Galileo sáng chế ra nhiệt kế. Những phát minh khác của ông có bơm nước và cân thủy tĩnh.

Năm 1609, Galileo là người đầu tiên sử dụng kính thiên văn để quan sát bầu trời sau khi nghe nói về chiếc kính thiên văn mới chế tạo của Hans Lippershey. Năm 1610, Galileo khám phá ra vành đai sao Thổ và cùng năm này trở thành người đầu tiên quan sát thấy 4 mặt trăng lớn của sao Mộc. Ông cũng quan sát các pha của sao Kim, nghiên cứu về vết đen trên Mặt Trời và khám phá ra nhiều hiện tượng quan trọng khác.

Năm 1610, Galileo chuyển đến Firenze, Ý, nơi ông đã theo đuổi nghiên cứu của mình tại Đại học Firenze và cung điện của gia đình Medici, sau được cai quản bởi Cosimo II, Bá tước của vùng Toscana.

Sau khi thảo luận và xuất bản nhiều khám phá thu được nhờ kính thiên văn, bao gồm bằng chứng về việc Trái Đất quay quanh Mặt Trời (gọi là thuyết Nhật tâm), Galileo bị kết tội dị giáo bởi Giáo hội La Mã vì Giáo hội ủng hộ thuyết Địa tâm. Sau khi bị cấm thảo luận và in sách về lí thuyết "dị giáo", Galileo đã phản kháng và xuất bản cuốn sách "Đối thoại giữa hai hệ thống thế giới". Ông bị kết án về tội dị giáo vào năm 1633 và bị quản thúc tại nhà cho đến cuối đời. Ông mất vào năm 1642 tại nhà riêng gần Firenze.

Galileo nổi tiếng nhất với câu nói Eppur si muove! ("Dù gì thì Trái Đất vẫn quay") sau khi đã bị Giáo hội buộc phải thề không thảo luận về thuyết Địa tâm nữa. Ông cũng có một thí nghiệm nổi tiếng chứng minh tốc độ rơi của một vật không phụ thuộc trọng lượng của nó trên tháp nghiêng Pisa.

Giuseppe PEANO

Cuneo 1858 - Turin 1932


Ông là người Ý, sống ở Turin từ 1870. Từ năm 1844 ông là Giảng viên môn Tính Vi-Tích phân tại Đại học Turin và trở thành Giáo sư từ 1890. Ông cũng là Giáo sư Toán của Viện Hàn lâm quân sự Turin từ 1886 đến 1901. Lĩnh vực nghiên cứu của ông là Lý thuyết Hàm của một hay nhiều biến thực, phép tính vector, Giải tích Số, nhưng công trình độc đáo của ông là hình thức hóa và xây dựng Toán học trên cơ sở một hệ Tiên đề chặt chẽ. Tham vọng của PEANO là làm sao tạo cho được một ngôn ngữ phổ thông để viết sách toán. Đó còn là sự đóng góp cho ngành Ngữ văn nữa. Từ năm 1888, PEANO đã tìm cách dùng logique để trình bày Toán học và hình thức hóa một thứ ngôn ngữ để viết. Vì vậy ông chế tác nhiều ký hiệu, mà ngày nay vẫn còn dùng như các ký hiệu ∈ , ∩ , ∪. Nhưng quan trọng hơn hết là PEANO đã biết dùng phương pháp Tiên đề hóa. Ngoài phương pháp Tiên đề hóa ông đã dùng trong nghiên cứu các số nguyên tự nhiên , năm 1888, sau khi tham khảo tỉ mỉ tác phẩm của GRASSMANN bằng tiếng Đức Die Ausdehnungslehre, PEANO là người đầu tiên đã đưa ra Hệ Tiên đề dùng trong định nghĩa Không gian vector (trên R), ông còn đưa ra định nghĩa ánh xạ tuyến tính. PEANO còn nêu lên chú ý rằng Hệ Tiên đề của ông không hạn chế trong không gian hữu hạn chiều (ông nêu ví dụ về không gian các đa thức có hệ số thực). PEANO là đồng minh tích cực của David HILBERT về phương pháp Tiên đề hóa trong Hình sơ cấp.Thời còn dạy ở trường Hàn lâm quân sự, chính vì say sưa với phương pháp Tiên đề hóa của mình nên PEANO đưa ra khá nhiều ký hiệu đến nỗi sinh viên của ông không chịu nổi, nên phản ứng mãnh liệt, nên ông xin thôi dạy ở đó.

Ông còn nổi tiếng ở chỗ ưa thích sự chặt chẽ trong Toán học. Nhân dịp biên soạn lại một Giáo trình về Phép tính Vi-Tích phân, ông đã cho đính chính những sai sót của những người trước ông và cùng thời với ông. Để tăng sự thuyết phục cho việc làm của mình, ông phải cho nhiều phản ví dụ đến nỗi thời bấy giờ người ta gọi PEANO là nhà vô địch về phản ví dụ. Nổi tiếng nhất về việc làm này là câu chuyện về đường cong sau này mang tên ông đường cong PEANO (1890). Định nghĩa mà JORDAN đã đưa ra là quá yếu, vì đường cong PEANO lấp đầy một hình vuông của mặt phẳng.

Các Tiên đề PEANO
- 1 là một số tự nhiên
- 1 không phải là số đi sau của bất cứ số tự nhiên nào
- Mọi số nguyên tự nhiên đều có một số nguyên tự nhiên đi sau nó
- Hai số nguyên tự nhiên có cùng một số nguyên tự nhiên đi sau nó thì bằng nhau
- Nếu một tập hợp các số nguyên tự nhiên có chứa 1 và cứ mỗi lần nó chứa một số nguyên tự nhiên thì nó chứa luôn số nguyên tự nhiên đi sau nó thì tập hợp đó chứa tất cả các số nguyên tự nhiên

Giovanni Ceva

Giovanni Ceva sinh ngày 7 tháng 12 năm 1647 tại Milan, nước Ý. Ông mất ngày 15 tháng 6 năm 1734 tại Mantua, nước Ý.

Thuở nhỏ, ông theo học tại trường dòng Thiên chúa giáo ở Milan. Lớn lên ông học ở Đại học Pisa, và sau đó, năm 1686 được bổ nhiệm làm giáo sư Toán tại trường Đại học Mantua, nơi ông gắn bó suốt đời.
Năm 1686, khi mới được bổ nhiệm, Giovanni Ceva làm việc dưới quyền cai trị của vua Gonzagas. Tuy nhiên, năm 1708 nước Áo đem quân chiếm đóng và bắt đầu xây dựng công sự. Giovanni Ceva nhanh chóng chuyển sang làm việc dưới chế độ thống trị của người Áo.

Phần lớn cuộc đời, Giovanni Ceva giành cho việc nghiên cứu hình học. Ông đã khám phá ra một trong những kết quả quan trọng về tam giác bằng phương pháp hình học tổng hợp. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng qua đỉnh của tam giác và cắt cạnh đối diện rõ ràng là đồng quy khi tích tỷ số các đoạn thẳng chia cạnh tam giác bằng 1 (xem hình minh họa để nắm rõ hơn). Định lý Ceva này được in trong cuốn “De lineis rectis” (1678).

Ceva cũng phát hiện lại và xuất bản định lý Menelaus. Ông còn nghiên cứu ứng dụng của hình học vào cơ học và tĩnh học. Ông đã có một kết luận sai rằng chu kỳ dao động của hai con lắc tỷ lệ với chiều dài của chúng, tuy nhiên, sau đó ông đã sửa chữa sai lầm này.

Ceva cho xuất bản “Opuscula mathematica” năm 1682. Trong “Geometria Motus” (1692), trong một chừng mực nào đó, ông đã có đề cập đến phép tính vi phân. Năm 1711, ông cho ra đời cuốn “De Re Nummeraria”, một trong những công trình đầu tiên về toán kinh tế, nhằm tìm ra điều kiện cân bằng cho hệ thống tiền tệ của bang Mantua.

Ceva cũng có những công trình quan trọng về thủy lực học, tiêu biểu là cuốn “Opus hydrostaticum” (1728). Ông là một viên chức ở Mantua, và đã dùng kiến thức của mình về thủy lực học để bác bỏ thành công dự án ngăn dòng chảy của sông Reno đổ vào sông Po.

Boole


George Boole sinh ngày 2-11-1815 ở London. Ông là con trai một nhà bán tạp hóa nhỏ. Vì nhà nghèo nên từ năm 16 tuổi, ông đã phải bươn chải kiếm sống, phụ giúp gia đình bằng nghề dạy học. Năm 20 tuổi, ông mở một trường tư ở quê nhà. Vừa tận tụy dạy học, vừa ra sức tự học, ông đã tích lũy thêm một kiến thức tóan học đồ sộ cho riêng mình. Với tài năng vốn có và lòng đam mê, bất chấp hòan cảnh khó khăn, ông đã cho ra đời hàng loạt công trình nghiên cứu nổi tiếng và rất quan trọng cho ngành tóan học thế giới: " Giải tích tóan học của logic", " Các định luật của tư duy". Nhờ đó, ông được bổ nhiệm làm Giáo sư tóan của trường Nữ hòang ở Iceland từ năm 1849 cho đến khi mất. Một đềiu khá thú vị là Eten Boole, một nữ văn sĩ nổi tiếng của nước Anh với tác phẩm "Ruồi trâu", chính là con gái của ông. Ông mất vào ngày 8-12-1864, thọ 49 tuổi.

Newton


Isaac Newton (phát âm như Isắc Niu-tơn) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh. Theo lịch Julius, ông sinh ngày 25 tháng 12 năm 1642 và mất ngày 20 tháng 3 năm 1727; theo lịch Gregory, ông sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 và mất ngày 31 tháng 3 năm 1727. Luận thuyết của ông về Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý Toán học của Triết lý về Tự nhiên) xuất bản năm 1687, đã mô tả về vạn vật hấp dẫn và 3 định luật của Newton, được coi là nền tảng của cơ học cổ điển, đã thống trị các quan niệm về vật lý, khoa học trong suốt 3 thế kỷ tiếp theo. ông cho rằng sự chuyển động của các vật thể trên mặt đất và các vật thể trong bầu trời bị chi phối bởi các định luật tự nhiên giống nhau.

Trong cơ học, Newton đưa ra nguyên lý bảo toàn động lượng (bảo toàn quán tính). Trong quang học, ông khám phá ra sự tán sắc ánh sáng, giải thích việc ánh sáng trắng qua lăng kính trở thành nhiều màu.

Trong toán học, Newton cùng với Gottfried Leibniz phát triển phép tính vi phân và tích phân. Ông cũng đưa ra nhị thức Newton tổng quát.

Năm 2005, trong một cuộc thăm dò ý kiến của Hội Hoàng gia về nhân vật có ảnh hưởng lớn nhất trong lịch sử khoa học, Newton vẫn là người được cho rằng có nhiều ảnh hưởng hơn Albert Einstein.

Tiểu sử

Quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica của NewtonIsaac Newton sinh ra tại một ngôi nhà ở Woolsthorpe, gần Grantham ở Lincolnshire, Anh, vào ngày 25 tháng 12 năm 1642 (4 tháng 1, 1643 theo lịch mới). Ông chưa một lần nhìn thấy mặt cha, do cha ông, một nông dân cũng tên là Isaac Newton, mất sớm vào tháng 10 năm 1662. Sống không hạnh phúc với bố dượng từ nhỏ, Newton bắt đầu những năm học phổ thông trầm uất, xa nhà và bị gián đoạn bởi các biến cố gia đình. May mắn là do không có khả năng điều hành tài chính trong vai anh cả sau khi bố dượng mất, ông tiếp tục được cho học đại học (trường Trinity College Cambridge) sau phổ thông vào năm 1661, sử dụng học bổng của trường với điều kiện phải phục dịch các học sinh đóng học phí.

Mục tiêu ban đầu của Newton tại Đại học Cambridge là tấm bằng luật sư với chương trình nặng về triết học của Aristotle, nhưng ông nhanh chóng bị cuốn hút bởi toán học của Descartes, thiên văn học của Galileo và cả quang học của Kepler. Ông đã viết trong thời gian này: "Plato là bạn của tôi, Aristotle là bạn của tôi, nhưng sự thật mới là người bạn thân thiết nhất của tôi". Tuy nhiên, đa phần kiến thức toán học cao cấp nhất thời bấy giờ, Newton tiếp cận được là nhờ đọc thêm sách, đặc biệt là từ sau năm 1663, gồm các cuốn Elements của Euclid, Clavis Mathematica của William Oughtred, La Géométrie của Descartes, Geometria a Renato Des Cartes của Frans van Schooten, Algebra của Wallis và các công trình của François Viète.

Ngay sau khi nhận bằng tốt nghiệp, năm 1665, ông phải trở về nhà 2 năm vì trường đóng cửa do dịch cúm. Hai năm này chứng kiến một loạt các phát triển quan trọng của Newton với phương pháp tính vi phân và tích phân hoàn toàn mới, thống nhất và đơn giản hoá nhiều phương pháp tính khác nhau thời bấy giờ để giải quyết những bài toán có vẻ không liên quan trực tiếp đến nhau như tìm diện tích, tìm tiếp tuyến, độ dài đường cong và cực trị của hàm. Tài năng toán học của ông nhanh chóng được hiệu trưởng của Cambridge nhận ra khi trường mở cửa trở lại. Ông được nhận làm giảng viên của trường năm 1670, sau khi hoàn thành thạc sĩ, và bắt đầu nghiên cứu và giảng về quang học. Ông lần đầu chứng minh ánh sáng trắng thực ra được tạo thành bởi nhiều màu sắc, và đưa ra cải tiến cho kính thiên văn sử dụng gương thay thấu kính để hạn chế sự nhoè ảnh do tán sắc ánh sáng qua thuỷ tinh.

Newton được bầu vào Hội Khoa học Hoàng gia Anh năm 1672 và bắt đầu vấp phải các phản bác từ Huygens và Hooke về lý thuyết hạt ánh sáng của ông. Lý thuyết về màu sắc ánh sáng của ông cũng bị một tác giả phản bác và cuộc tranh cãi đã dẫn đến suy sụp tinh thần cho Newton vào năm 1678. Năm 1679 Newton và Hooke tham gia vào một cuộc tranh luận mới về quỹ đạo của thiên thể trong trọng trường. Năm 1684, Halley thuyết phục được Newton xuất bản các tính toán sau cuộc tranh luận này trong quyển Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Các Nguyên lý của Triết lý về Tự Nhiên). Quyển sách đã mang lại cho Newton tiếng tăm vượt ra ngoài nước Anh, đến châu Âu.

Năm 1685, chính trị nước Anh thay đổi dưới sự trị vì của James II, và trường Cambridge phải tuân thủ những điều luật phi lý như buộc phải cấp bằng cho giáo chủ không thông qua thi cử. Newton kịch liệt phản đối những can thiệp này và sau khi James bị William III đánh bại, Newton được bầu vào Nghị viện Anh nhờ những đấu tranh chính trị của ông.

Năm 1693, sau nhiều năm làm thí nghiệm hoá học thất bại và sức khoẻ suy sụp nghiêm trọng, Newton từ bỏ khoa học, rời Cambridge để về nhận chức trong chính quyền tại Luân Đôn. Newton tích cực tham gia hoạt động chính trị và trở nên giàu có nhờ bổng lộc nhà nước. Năm 1703 Newton được bầu làm chủ tịch Hội Khoa học Hoàng gia Anh và giữ chức vụ đó trong suốt phần còn lại của cuộc đời ông. Ông được Nữ hoàng phong tước hiệp sĩ năm 1705. việc ai phát minh ra vi phân và tích phân, Newton và Lepnic không bao giờ tranh luận cả, nhưng các người hâm mộ lại tranh cãi quyết liệt khiến hai nhà khoa học vĩ đại này cảm thấy xấu hổ. Ông mất ngày 31 tháng 3 năm 1727 tại Luân Đôn

Brook TAYLOR
Edmonton 1685 - London 1731

Ông là nhà Toán học Anh, đã từng học ở trường nổi tiếng Saint-John's College ở Cambridge, ở đó ông là học trò của John MACHIN. Trong nhiều năm liền ông là Ủy viên của Royal Society rồi làm Bí thư của Hội năm 1714 và ông xin từ chức vào năm 1718 để dồn sức cho nghiên cứu Khoa học. Năm 1715 ông khám phá ra công thức bây giờ mang tên ông: công thức TAYLOR (hay còn gọi là khai triển TAYLOR), nhưng ông không quan tâm đến phần dư cũng như sự hội tụ của nó. TAYLOR dùng công thức này từ 1717 để tìm giá trị gần đúng của phương trình f(x) = 0 bằng cách chỉ dùng các số hạng có bậc bé hơn hay bằng 2. Tầm quan trọng của công thức này được LAGRANGE đánh giá cao năm 1772 và xem nó là nguyên lý cơ bản của phép tính vi phân.

Brook TAYLOR là nhà Toán học lớn sau cùng nghiên cứu những bài toán về viễn cảnh (perspectives). Những nghiên cứu của ông trong lĩnh vực này được vận dụng trong nghiên cứu các ảnh chụp từ trên không. Vì TAYLOR còn nghiên cứu về dây rung nên ông quan tâm đến phương trình vi phân cấp 2 và ông đã để lại cho đời sau công thức v = (1/2L).√(T/σ) trong đó T là sưc căng của dây, L là chiều dài của dây và σ = m/g với m là khối lượng trên từng đơn vị dài và g là gia tốc trọng trường.

John NAPIER
người phát minh ra logarithme
Edimbourg 1550 - Merchiston Castle 1617

Nhà Toán học và Thần học người Anh này được giới Toán học Pháp biết đến với cái tên là NEPER. Năm lên 13 tuổi, NEPER đã được nhận vào trường Đại học Saint-Andrews nhưng ông không đậu được một bằng cấp nào. Sau đó ông đi chu du khắp nơi, rồi quay về xứ Ecosse và mất ở đó. NEPER là một con chiên ngoan đạo Tin Lành. Ông có viết một tác phẩm nhan đề A plaine discovery of the whole revelation of Saint John (1954) trong đó ông công kích Thiên Chúa giáo và cảnh tỉnh Nhà vua JACQUES IV lúc đó là vua xứ Ecosse đang lăm le dựa vào sự ủng hộ của PHILIPPE II - lúc đó là vua Tây Ban Nha, để giành ngôi Hoàng đế nước Anh. Tác phẩm này được tái bản đến hơn 30 lần, và người ta nói rằng NEPER được nổi tiếng không phải nhờ Toán học mà chính là nhờ tác phẩm này

NEPER cũng có một số kết quả nghiên cứu về Lượng giác cầu. Tuy vậy, điều làm chúng ta chú ý nhất là NEPER đã để lại cho đời sau một gia tài đáng kính nể: sự phát minh ra Logarithme nổi tiếng của ông. Đây là kết quả miệt mài suy nghĩ của ông gần 20 năm. Cái gì đã đưa đường cho ông đến phát minh kỳ diệu này ? Đó là một bài toán về Động học trong Vật Lý. Ông tưởng tượng một chất điểm M chuyển động từ một điểm A và đoạn đường đi là AB mà ông chọn có độ dài là 107

Và vận tốc chất điểm đo bằng độ dài y = MB. Một chất điểm thứ hai N chuyển động cùng lúc từ C với vận tốc đều và đi được độ dài cũng bằng 107. Gọi x là khoảng cách từ C đến N, NEPER gọi x là logarithme của y. Tính toán thì ta thấy x = -107ln(y/107). Về sau, NEPER nhận thấy nếu thời gian được lặp lại đều nhau, x sẽ tăng theo cấp số cộng và y sẽ tăng theo cấp số nhân. NEPER công bố phát minh của mình năm 1614 và cho một bảng logarithme của sin các góc tăng từng phút một. Nhà Toán học người Anh Henri BRIGGS phát hiện ngay tầm quan trọng của phát minh này: việc tính các số lớn từ nay sẽ dễ dàng nhờ bảng logarithme. Ông bèn tìm gặp NEPER, gợi ý thay đổi chút ít thang số để chuyển về như ngày nay ta gọi là logarithme cơ số 10. Từ xưa đến nay chưa có phát minh Toán học nào được thế giới hưởng ứng nhanh như vậy và không biết bao nhiên bảng logarithme đã được hoàn chỉnh ngay sau khi NEPER mất. Chính nhờ bảng logarithme mà việc nhân chia, khai căn đã tiến những bước dài. Người ta nói rằng sự ra đời của logarithme đã "kéo dài tuổi thọ cho các nhà Toán học"

GOTTRIT VINGEM LEPNIT (1646- 1716)
Hồi thế kỉ thứ 17 ,ở châu Âu có cuộc tranh luận lớn ,vượt ra ngoài phạm quy một nước về một phát minh toán học . Ai là người đầu tiên phát hiện ra phép tính vi phân và tích phân ? Niutơn hay Lepnit ? Đó là vấn đề được tranh cãi hết sức sôi nổi trong nhiều năm và còn tiếp diễn trong những năm của thế kỉ sau nữa .Tham gia cuộc tranh cãi này không chỉ có các nhà khoa học ,nhiều người thuộc các giới khác cũng nhiệt tình không kém .Ngày nay ,người ta đều thống nhất rằng : Niutơn và Lepnit độc lập với nhau .Đều là tác giả của phát minh nỗi tiếng trên . Niutơn sớm hơn Lepnít,nhưng cách giải quyết vấn đề của toán học cao cấp rõ ràng hơn , kí hiệu ,ngôn ngữ sáng sủa hơn lại là công của Lepnit . Danh từ " vi phân " ,"tích phân " ,kí hiệu là y' = dy/dx ( đạo hàm của y(x)..) chính do Lepnit nêu ra .

Lepnit sinh ở Lepdich ( Đức ) ngày 1-7-1646 ( trẻ hơn Niutơn 4 tuổi ) và mất ngày 14-11-1716 ở Hanôvơ .

Lepnít là con một giáo sư trường Đại học Lepdich ,nhưng mồ côi cha từ năm lên 6 .Mẹ ông một người đàn bà thông minh tháo vát đã đảm nhận việc nuôi dạy ông với ý chí quyết tâm nuôi dạy con thành bác học . Ngay sau khi chồng chết bà sinh cho con học ở trong những trường tốt nhất ở Lepdich . Chính ở đây khả năng sáng tạo xuất hiện khá sớm ở Lepnit - đã được bồi dưỡng phát huy đầy đủ .

Mặc dù mồ côi cha từ nhỏ ,Lepnit cũng đã thừa hưởng ở cha lòng ham học .Ngay từ nhỏ ,ngoài giờ học ở trường cậu bé Lepnit miệt mài đọc sách trong thư viện của cha .Lépnit tự học tiếng La Tinh đến năm 12 tuổi thì làm được thơ bằng thứ tiếng " hóc búa" này .Và cũng từ đó chuyển sang tự học tiếng Hi Lạp .Khi còn là cậu bé 14 tuổi Lepnít đã suy nghĩ liên miên về những vấn đề của Logich ,và ngay từ hồi đó đã đi đến kết luận rằng bài toán chân thực nhất của Lôgich là phân loại tư duy của con người .Trong những năm còn ngồi trên ghế trường phổ thông Lepnít đã mơ ước xây dựng một ngôn ngữ chung cho mọi khoa học .Ước mơ táo bạo này đưa Lépnít sống vượt thời đại mình hai thế kỉ .Ông đã đặt những viên gạch đầu tiên cho Lôgich toán hiện đại .

Lépnit vốn là một nhà luật học năm 1666 khi Niutơn đang đắm chìm trong những suy nghĩ không dứt ,thai nghén cho sự ra đời của sự ra đời của phép tính vi tích phân và định luật vạn vật hấp dẫn thì Lepnít viết luận án chuẩn bị thi tiến sĩ luật .Nhưng ông còn trẻ quá ! Đó là lý do người ta nêu ra để từ chối cấp học vị tiến sĩ cho Lepnit .Song nguyên nhân chủ yếu của việc thi trượt chính lại vì ông biết luật nhiều hơn số đông giáo sư luật của trường Đại học Lepdich .

Trong những năm đầu của thời sinh viên , Lepnit đọc rất nhiều sách triết ,và ông hiểu rằng để hiểu triết học " tự nhiên" của Keplê ,Galilê , và Đềcác thì không thể không biết toán học .Cho nên ông đã nghe giảng toán .Song ông chỉ bắt đầu học toán bắt đầu vào năm 1672 ,dưới sự hướng dẫn của Huyghen ( 1629- 1695 ) và cũng từ đó thiên tài của Lepnit mới bắt đầu thực sự biểu lộ trong toán học .Cho nên ông đã nghe giảng toán .Ngay trong những năm đầu sáng tạo toán học ,Lepnít đã làm ra máy tính và máy tích phân gần đúng .

Phép tính vi tích phân là công trình lớn nhất của Lepnit . Chính bằng những phương trình của phép tính này Lepnít đã giải quyết được hàng loạt vấn đề mà các nhà bác học khác cùng thời không làm nổi .

Những người cùng thời kể lại rằng ,Lepnít người tầm thước gầy và xấu trai .Ông thường đeo bộ tóc giả màu đen và vì vậy đã xanh càng thêm xanh .Và như người ta nói ,ông không có tướng " bác học ".Một lần lúc còn ở Pari ,khi Lepnít hỏi mua một tác phẩm triết ở một hiệu sách thì người bán hàng ngắm ông từ đầu đến chân rồi hỏi : " Ông mua để làm gì ? " .Lepnit chưa kịp trả lời thì ,ngẫu nhiên tác giả quyển sách ấy bước vào và lớn tiếng : " Kính chào Lepnit vĩ đại ! " Người bán sách vô cùng ngạc nhiên .Anh ta không bao giờ ngờ dược rằng người đàn ông gầy gò xấu xí này lại chính là Lepnit ,người được các bác học Pari hết lòng khâm phục .

Có thể nói ,nhiệt tình tự học và lòng say mê phát minh là những nét đặc trưng lớn của Lepnit .Chính ông đã viết "có hai điều đem lại cho tôi lợi ích nhất . Trước hết thẳng thắn mà nói ,tôi đã tự học mọi khoa học .Điều thứ hai là tôi luôn luôn lao vào tìm kiếm những điều mới mẻ ngay lúc vừa mới hiểu được những khái niệm đầu tiên của mỗi khoa học ..."

Bất kì ở đâu ,bất kì lúc nào và bất kể những điều kiện như thế nào Lepnit vẫn đọc ,viết và suy nghĩ ,sáng tạo không ngừng . Ông đã viết phần lớn tác phẩm toán học ngay trên chiếc xe ngựa chạy dọc những con đường "bò đi " của châu Âu ở thế kỉ 17 .Và kết quả của sự lao động không ngừng ấy để lại cho đời sau những công trình bất hủ .

Lepnit không chỉ là một nhà toán học vĩ đại .Ông còn là luật gia , nhà thơ ,nhà văn ,sử gia ...

Turing



Alan Mathison Turing (23 tháng 6, 1912 – 7 tháng 6, 1954) là một nhà toán học, logic học và mật mã học người Anh thường được xem là cha đẻ của ngành khoa học máy tính. Thử thách Turing (Turing test) là một trong những cống hiến của ông trong ngành trí tuệ nhân tạo: thử thách này đặt ra câu hỏi rằng máy móc có khi nào đạt được ý thức và có thể suy nghĩ được hay không. Ông đã công thức hóa khái niệm thuật toán và tính toán với máy Turing, đồng thời đưa ra phiên bản của "Turing", mà ngày nay được đông đảo công chúng chấp nhận, về luận đề Church-Turing, một luận đề nói rằng bất cứ mô hình tính toán thiết thực nào đều có khả năng thấp hơn hoặc bằng khả năng của một máy Turing.

Trong Đệ nhị thế chiến, Turing đã từng làm việc tại Bletchley Park, trung tâm giải mật mã của Anh, và một thời là người chỉ huy của Hut 8, một bộ phận của Anh có trách nhiệm trong việc giải mã của hải quân Đức. Ông đã sáng chế ra nhiều kỹ sảo hòng phá mật mã của Đức, trong đó có phương pháp nối các máy giải mã lại với nhau thành một bộ Bombe, một máy điện-cơ để tìm ra công thức gài đặt cho máy Enigma.

Sau chiến tranh, ông cộng tác tại Phòng thí nghiệm Vật lý Quốc gia (National Physical Laboratory), và đã tạo ra một trong những đồ án đầu tiên cho một máy tính có khả năng lưu trữ chương trình (stored-program computer), nhưng nó không bao giờ được kiến tạo thành máy. Năm 1947 ông chuyển đến Đại học Victoria tại Manchester để làm việc, đa số trên phần mềm cho máy Manchester Mark I, lúc đó là một trong những máy tính hiện đại đầu tiên.

Năm 1952, Turing bị kết án với tội đã có những hành vi khiếm nhã nặng nề, sau khi ông tự thú đã có quan hệ đồng tính luyến ái với một người đàn ông ở Manchester. Ông bị tù treo và phải dùng liệu pháp hoóc môn.

Turing qua đời năm 1954; cuộc điều tra cái chết của ông cho thấy ông đã tự tử bằng cách ăn một quả táo có tẩm thuốc độc xyanua.

Thời thơ ấu và thiếu niên
Mẹ của Alan mang thai ông vào năm 1911, tại Chatrapur, Ấn Độ. Cha ông, Julius Mathison Turing, lúc đó là một công chức trong ngành Dân chính Ấn Độ (Indian Civil Service), lúc đó vẫn dưới sự cai quản của chính phủ Anh. Julius và vợ mình, bà Ethel (nguyên họ là Stoney) muốn con mình lớn lên tại Anh, nên họ đã trở về Paddington, Luân Đôn, nơi Alan Turing được sinh ra vào ngày 23 tháng 6 năm 1912. Vì nhiệm vụ với ngành dân chính của cha ông vẫn còn, trong lúc Alan còn nhỏ, cha mẹ của ông thường phải di chuyển giữa Guildford (Anh) và Ấn Độ, để hai đứa con trai của họ cho các người bạn tại Anh giữ hộ, vì tình trạng y tế ở Ấn Độ còn thấp kém. Ngay từ lúc còn nhỏ, ông đã thể hiện các dấu hiệu thiên tài. Ông tự tập đọc trong vòng ba tuần, và có biểu lộ ham thích toán học, cùng với giải đáp các câu đố.

Lúc Alan 6 tuổi, cha mẹ cho ông học tại trường St. Michael's. Bà hiệu trưởng của trường đã nhận thấy thiên tài của Alan từ lúc ban đầu, cũng như các giáo viên của ông sau này. Năm 1926, khi ông 14 tuổi, ông đến học tại trường nội trú Sherborne ở Dorset. Ngày khai giảng của khóa đầu xảy ra cùng ngày với một cuộc tổng đình công tại Anh, nhưng vì ông quyết trí muốn đến lớp, ông đã chạy xe đạp trên 60 dặm (100 km) từ Southampton đến trường, không có người dẫn, chỉ dừng lại và trọ qua đêm tại một quán trọ trên đường. Sự kiện này đã được báo chí địa phương tường trình.

Tuy có năng khiếu toán và khoa học, Turing không được các thầy cô coi trọng tại Sherborne, một trường công nổi tiếng và đắt đỏ (thật sự đây là một trường tư ở Anh nổi tiếng với tính từ thiện) vì trường này đánh giá các môn kinh điển cao hơn. Hiệu trưởng của ông đã viết thư cho cha mẹ ông nói "Tôi hy vọng rằng anh ta không rơi vào tình trạng lơ lửng, giữa trường nọ với trường kia. Nếu anh ta muốn ở lại Trường Công, thì anh ta nhất định phải đặt mục tiêu để trở thành một người có giáo dục. Còn nếu anh ta chỉ muốn trở thành một Nhà khoa học chuyên ngành thì tôi e rằng anh ta đang phung phí thời gian của mình tại Trường Công" [1].

Mặc dầu vậy, Turing vẫn biểu hiện năng khiếu trong các môn ông ưa thích. Ông đã giải được nhiều bài toán bậc cao trong năm 1927 trước khi học đến giải tích cơ bản. Khi ông 16 tuổi (1928), ông đã hiểu được các tác phẩm của Albert Einstein, không những nắm được nội dung, ông còn suy luận được về những thắc mắc của Einstein đối với các định luật của Newton về chuyển động trong một bài viết mà Einstein không nói thẳng ra.

Phòng điện toán tại trường đại học King's nay được đặt tên theo Turing, nguyên là sinh viên tại đây năm 1931 và hội viên năm 1935Trong lúc học tại Sherborne, Turing đã ngầm yêu Christopher Morcom, một người bạn, nhưng mối tình không được đáp lại. Morcom qua đời một vài tuần trước khi ra trường vì bệnh lao đã mắc phải sau khi uống sữa bò có vi khuẩn lao lúc còn nhỏ. Turing rất đau lòng vì sự việc này.

Đại học và các nghiên cứu trong toán học
Vì Turing không chịu học các môn ngoài toán và khoa học, ông không nhận được học bổng để học tại Học viện Trinity của Đại học Cambridge, mà phải học tại Học viện King's của Đại học Cambridge từ năm 1931 đến 1934 và tốt nghiệp đại học với bằng danh dự. Năm 1935 ông được chọn làm nghiên cứu sinh tại trường King's, do sức thuyết phục của mình trong luận văn về hàm số độ sai của Gauss.

Trong bài viết nổi tiếng của ông, tựa đề "Các số khả tính, với áp dụng trong Vấn đề về lựa chọn" (On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem) - thuật toán lôgic - (đệ trình ngày 28 tháng 5 năm 1936), Turing tái dựng lại kết quả của Kurt Gödel hồi năm 1931 về những hạn chế trong chứng minh và tính toán, thay đổi thuật ngữ tường trình số học chính quy của Gödel, bằng cái mà ngày này người ta gọi là máy Turing, một dụng cụ chính quy và đơn giản. Ông đã chứng minh rằng một cái máy như vậy sẽ có khả năng tính toán bất cứ một vấn đề toán học nào, nếu vấn đề ấy có thể được biểu thị bằng một biểu trình thuật toán, ngay cả khi một cái máy Turing cụ thể như vậy không có mấy công dụng thực tiễn vì sự chậm chạp của nó so với những cơ chế khác.

Máy Turing, cho đến nay, vẫn là một vấn đề nghiên cứu trung tâm trong lý thuyết về máy tính. Ông còn tiếp tục chứng mình rằng vấn đề về lựa chọn (Entscheidungsproblem) là một vấn đề không có giải đáp, bằng cách đầu tiên chứng minh rằng nan đề ngưng hoạt động trong máy của Turing là một nan đề bất khả định; khó mà có thể quyết định được rằng một cái máy Turing nào đó sẽ ngưng hoạt động tại một điểm nào đó. Tuy chứng minh của ông được đăng công khai sau chứng minh tương tự của Alonzo Church đối với giải tích lambda (lambda calculus), chứng minh của Turing được coi là dễ hiểu và trực giác hơn. Chứng minh của ông còn nổi tiếng về đề bạt một cái "máy Turing vạn năng" (Universal (Turing) Machine), một ý tưởng rằng một cái máy như vậy có thể làm bất cứ việc gì mà các máy khác phải làm. Bài viết còn giới thiệu quan niệm về số khả định (definable number).

Hầu hết thời gian giữa năm 1937 và 1938, ông cư trú tại Đại học Princeton, nghiên cứu dưới sự chỉ đạo của Alonzo Church. Năm 1938, ông đạt được bằng Tiến sĩ tại trường này. Luận văn của ông giới thiệu quan niệm tính toán tương đối (relative computing). Trong quan niệm này, nhiều máy Turing được ghép lại, trở thành một cái máy tiên tri (oracle machine), cho phép nghiên cứu những phương trình không thể giải được nếu chỉ sử dụng một cái máy Turing mà thôi.

Sau khi quay trở lại Cambridge vào năm 1939, ông thính dự giảng đường của Ludwig Wittgenstein về nền tảng của toán học (foundations of mathematics). Hai người tranh cãi và bất đồng ý kiến một cách kịch liệt. Trong khi Turing bảo vệ lập trường của chủ nghĩa hình thức (formalism), thì Wittgenstein lại tranh cãi rằng toán học được đánh giá quá mức, và bản thân nó không thể tìm ra bất cứ một chân lý cuối cùng nào (absolute truth) (Wittgenstein 1932/1976)

Arthur CAYLEY
Richmond 1821 - Cambridge 1895


Ông sinh trưởng ở nước Anh, nhưng vì cha mẹ ông làm nghề buôn bán, qua nhiều nước nên ông đã theo cha mẹ sống 8 năm ở Saint Pétersbourg (Nga). Từ năm 1838 đến năm 1849, CAYLEY về Anh, học Toán và Luật tại Trinity College ở Cambridge.

Năm 1849 ông hành nghề Tư pháp nhưng vẫn say mê Toán học. Từ năm 1863, ông được bổ nhiệm làm Giáo sư Toán lý thuyết ở Cambridge và rất yên tâm với nghề giảng dạy và nghiên cứu Toán ở đây, trừ một năm (năm học 1881 - 1882) ông được mời sang Mỹ dạy tại Đại học Hopkins ở Baltimore. CAYLEY là một con người tài hoa toàn diện: tính tình rất dễ mến, có trí nhớ tuyệt vời, chơi thể thao có hạng và là họa sĩ sơn nuớc tài tử. Thêm vào đó ông biết giỏi nhiều ngoại ngữ như Pháp, Đức, Ý, Hy Lạp nên ông ưa đọc tiểu thuyết bằng tiếng nước ngoài và bản thân cũng có viết chút đỉnh. Nhưng Toán học vẫn là nguồn say mê, cảm hứng và thu hút nhiều tâm lực của ông nhất. Sau EULER và CAUCHY thì ông là người viết nhiều nổi tiếng về Toán. Toàn bộ khối lượng công trình nghiên cứu Toán học của ông gồm có 970 bài in thành 13 tập, mỗi tập dày 600 trang.

Bị cuốn hút bởi những công trình của CAUCHY, ông có công tổng quát hóa khái niệm nhóm các phép thế. Giữa những năm 1849 -1854 ông đưa ra khái niệm về nhóm trừu tượng như là tập hợp các toán tử tác dụng lên các phần tử của nó sao cho từng cặp phần tử vẫn ở trong tập hợp. CAYLEY đưa ra ví dụ các quaternions (với phép cộng) và các ma trận (đối với phép nhân). Định nghĩa này chưa hoàn chỉnh, phải đợi đến KRONECKER năm 1870, định nghĩa nhóm trừu tượng mới được nhắc lại và được hoàn thiện.

Người ta xem CAYLEY như là người phát minh ra ma trận. Khi ông đưa ra định nghĩa ma trận lần đầu tiên năm 1841 thì lúc đó người ta đã biết định thức rồi. Từ 1815, CAUCHY đã dùng định thức như một bảng và sau này CAYLEY đã đưa thêm hai vạch thẳng đứng như ngày nay ta thường dùng. Ban đầu CAYLEY đưa ra ma trận vuông (2,2) , (3,3) nhưng ông khẳng định có thể mở rộng cho ma trận chữ nhật (p,n). Ông còn định nghĩa phép cộng và phép nhân hai ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận nghịch đảo, ma trận đối xứng và ma trận phản đối xứng, phương trình đặc trưng của ma trận ; ông đưa ra định lý mà ngày nay ta gọi là định lý CAYLEY - HAMILTON. Ông dùng các công cụ ấy để nghiên cứu Hình học Giải tích n chiều, độc lập với GRASSMANN, và như ông nói, không cần phải nhờ đến Siêu hình học. Ông đặt nền móng cho Lý thuyết các không gian vector, CAYLEY đã nghiên cứu Lý thuyết các bất biến. Trong lý thuyết này ông tìm các tính chất của các ánh xạ đa tuyến tính và của định thức bất biến qua biến đổi cơ sở hay cơ sở trực chuẩn.

Những điều này bao gồm những khái niệm như định thức của một ma trận hay của một dạng toàn phương, jacobien hay hessien của một hàm số. Ông công bố đến 10 công trình về Lý thuyết này và từ năm 1854 đến năm 1878 ông nghiên cứu đặc biệt về jacobien và hessien.

Năm 1859 CAYLEY đưa ra khái niệm conique xạ ảnh như những điểm mà tọa độ làm triệt tiêu một dạng toàn phương, ông định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm của một mặt phẳng xạ ảnh tương ứng với một dạng toàn phương và khái niệm góc của hai đường thẳng và ông kết luận rằng Hình học métrique "nằm" trong Hình học xạ ảnh.

28 năm sau, KLEIN xác nhận rằng các Hình học Phi EUCLIDE cũng theo khuôn khổ của lý thuyết này

Gauss
Thời tuổi trẻ

Gauss được sinh ra tại Braunschweig, thuộc Brunswick-Lüneburg (nay là Hạ Saxony, Đức), con trai duy nhất của một cặp vợ chồng thuộc tầng lớp thấp trong xã hội. Theo giai thoại kể lại, tài năng bẩm sinh của Gauss được phát hiện khi ông mới lên ba, qua việc ông sửa lại lỗi của cha trong tính toán tài chính. Một câu chuyện khác kể rằng khi ông học tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính cộng các số nguyên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này có nhiều khả năng là chuyện có thật, mặc dù bài toán mà thầy giáo của Gauss đã ra có thể khó hơn như vậy. [1]

Từ năm 1792 đến 1795, Gauss được nhận học bổng của Karl Wilhelm Ferdinand (công tước trong vùng) để vào trường trung học Collegium Carolinum. Từ năm 1795 đến 1798 ông học ở Đại học Göttingen. Trong trường trung học, Gauss khám phá ra một số định lý toán học quan trọng một cách độc lập; năm 1796, Gauss đã có đột phá toán học đầu tiên khi ông chứng minh rằng mọi đa giác đều với số cạnh bằng số nguyên tố Fermat (và, do đó, mọi đa giác đều với số cạnh bằng tích của các số nguyên tố Fermat khác nhau và lũy thừa của 2) đều có thể dựng được bằng compa và thước kẻ. Đây là một khám phá quan trọng trong ngành dựng hình, một bài toán đã làm đau đầu nhiều nhà toán học từ thời Hy Lạp cổ đại. Gauss đã thích thú với kết quả này đến nỗi ông đã yêu cầu khắc lên mộ mình sau này một hình thất thập giác đều. Tuy nhiên người xây mộ đã từ chối, nói rằng khó khăn kỹ thuật sẽ làm cho hình với số cạnh nhiều như vậy trông giống một hình tròn.

Năm 1796 có lẽ là năm chứng kiến nhiều phát kiến của Gauss nhất, chủ yếu cho ngành lý thuyết số. Vào 30 tháng 3 năm đó, ông tìm thấy cách dựng hình thất thập giác. Ông đã tìm ra số học modula, một khám phá giúp cho việc giải toán trong lý thuyết số được đơn giản hóa đi nhiều. Công thức nghịch đảo toàn phương của ông được tìm thấy ngày 8 tháng 4. Định luật khá tổng quát này cho phép các nhà toán học xác định khả năng giải được cho các phương trình bậc hai trong số học modula. Định lý số nguyên tố được Gauss phát biểu ngày 31 tháng 5, cho một cách hiểu thấu đáo về cách sô nguyên tố được phân bố trong dãy số nguyên. Ngày 10 tháng 7, Gauss đã tìm thấy rằng bất cứ số nguyên nào cũng có thể được biểu diễn bằng tổng của tối đa là ba số tam giác; ông đã sung sướng viết trong sổ tay của mình "Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Ngày 1 tháng 10, ông cho xuất bản một kết quả về các nghiệm của các đa thức với hệ số trong trường vô hạn, một kết quả đã dẫn đến phát biểu Weil 150 năm sau.


Thời trung niên

Bìa quyển sách Disquistiones ArithmeticaeTrong luận văn của ông năm 1799, Gauss đã trở thành người đầu tiên chứng minh định lý cơ bản của đại số. Định lý này nói rằng bất cứ một đa thức trên trường số phức nào cũng đều có ít nhất một nghiệm. Các nhà toán học trước Gauss mới chỉ giả thiết rằng định lý đó là đúng. Gauss đã chứng sự đúng đắn của định lý này một cách chặt chẽ. Trong cuộc đời của mình, ông đã viết ra tới bốn cách chứng minh hoàn toàn khác nhau cho định lý trên, làm sáng tỏ ý nghĩa của số phức.

Năm 1801, Gauss tiếp tục có nhiều cống hiến trong lý thuyết số, tổng kết lại trong quyển Disquisitiones Arithmeticae, một công trình chứa đựng miêu tả gọn gàng về số học modula và cách chứng minh thứ nhất của công thức nghịch đảo toàn phương. Cùng năm này, nhà thiên văn Ý Giuseppe Piazzi tìm thấy thiên thể Ceres, nhưng chỉ kịp thấy nó trong vài tháng. Gauss đã tiên đoán chính xác vị trí mà thiên thể này sẽ được tìm lại, và tiên đoán này được khẳng định bởi quan sát của Franz Xaver von Zach ở thị trấn Gotha vào ngày 31 tháng 12, 1801, và bởi Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers ở Bremen một ngày sau đó. Zach đã ghi lại "nếu không có công trình trí tuệ và tính toán của tiến sĩ Gauss chúng ta đã có thể không tìm lại Ceres được nữa." Vào thời điểm này Gauss tuy vẫn nhận lương của Công tước, ông ngờ rằng sự dàn xếp này không được bảo đảm, mặt khác cho rằng công sức của ông đối với toán học thuần túy không xứng đáng được chu cấp như vậy. Vì thế, ông đã tìm việc trong ngành thiên văn học, và vào năm 1807 được giữ cương vị Giáo sư Thiên văn và Giám đốc đài thiên văn ở Göttingen. Ông đã làm việc với chức vị này trong suốt phần còn lại của cuộc đời.

Sự khám phá ra Ceres của Giuseppe Piazzi ngày 1 tháng 1 năm 1801 đã giúp Gauss chuyển hướng nghiên cứu sang lý thuyết về chuyển động của các tiểu hành tinh, bị nhiễu loạn bởi các hành tinh lớn hơn. Các công trình của ông trong lĩnh vực này đã được xuất bản năm 1809 dưới tên Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum (lý thuyết về chuyển động của các thiên thể trong quỹ đạo mặt cắt hình nón quanh Mặt Trời). Piazzi chỉ quan sát được Ceres trong vài tháng, khi thiên thể này di chuyển khoảng vài độ trên bầu trời. Sau đó thiên thể này chói lòa bởi ánh sáng Mặt Trời. Vài tháng sau, khi Ceres đã ló ra khỏi vùng ảnh hưởng của ánh sáng Mặt Trời, Piazzi đã không tìm thấy nó: các công cụ toán học thời đó không đủ chính xác để giúp ông tiên đoán trước vị trí thiên thể này từ các dữ liệu ít ỏi đã quan sát được – 1% của toàn bộ quỹ đạo.

Gauss, lúc đó ở tuổi 23, đã được nghe về bài toán này và lập tức giải quyết nó. Sau ba tháng làm việc miệt mài, ông đã tiên đoán vị trí của Ceres vào tháng 12 năm 1801 – khoảng 1 năm sau khi thiên thể này được nhìn thấy lần đầu – và tính toán này đã được kiểm chứng lại cho thấy sai số nhỏ hơn nửa độ. Các công trình của ông đã trở thành công cụ tính toán quan trọng cho thiên văn học thời này. Ông đã giới thiệu hằng số hấp dẫn Gauss và hoàn chỉnh phương pháp bình phương tối thiểu, một phương pháp dùng cho hầu như một ngành khoa học ngày nay khi giảm thiểu sai số đo. Gauss đã chứng minh chặt chẽ giả định về sai số theo phân bố Gauss (xem định lý Gauss-Markov). Phương pháp này đã được Adrien-Marie Legendre dùng vào năm 1805, nhưng Gauss nói ông đã dùng nó từ năm 1795.

Cuối thập niên 1810, Gauss được mời thực hiện các nghiện cứu trắc địa cho bang Hannover để liên kết với mạng lưới Đan Mạch. Gauss vui lòng chấp nhận và tham gia, đo đạc vào ban ngày và xử lý kết quả vào ban đêm, sử dụng khả năng tính toán phi thường của ông. Ông thường viết cho Heinrich Christian Schumacher, Heinrich Wilhelm Matthäus Olbers và Friedrich Bessel, nói về tiến trình đo đạc và các vấn đề. Trong cuộc điều tra trắc địa này, Gauss đã phát minh máy heliotrope (?) sử dụng hệ thống gương để phản chiếu ánh sáng Mặt Trời vào kính viễn vọng phục vụ đo đạc chính xác.

Gauss cũng đã tuyên bố khám phá ra hình học phi Euclide nhưng ông chưa bao giờ xuất bản các công trình về vấn đề này. Khám phá này đã là một cuộc cách mạng trong tư duy toán học đương thời, giải phóng các nhà toán học khỏi giả thuyết rằng các tiên đề Euclide là cách duy nhất để xây dựng hình học không tự mâu thuẫn. Các nghiên cứu về hình học này, cùng với các ý tưởng khác, đã dẫn đến lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein, miêu tả vũ trụ trong hình học phi Euclide. Farkas Bolyai, một bạn của Gauss, người mà Gauss đã thề làm "anh em kết nghĩa" khi còn là sinh viên, đã thử chứng minh định đề song song từ các tiên đề Euclide mà không thành công. Con trai của Bolyai, Janos Bolyai, khám phá ra hình học phi Euclide năm 1829 và xuất bản công trình này năm 1832. Sau khi nhìn thấy xuất bản của Janos Bolyai, Gauss đã viết cho Farkas Bolyai: "Nếu khen công trình này thì tức là tự khen tôi. Toàn bộ nó ... trùng hoàn toàn với những gì tôi nghĩ trong suốt ba mươi đến ba mươi nhăm năm qua." Câu nói khó kiểm chứng này đã gây căng thẳng trong quan hệ với János Bolyai (người đã nghĩ rằng Gauss đã "ăn cắp" ý tưởng của ông).

Phân bố Gauss trong thống kêCuộc thăm dò địa trắc ở Hannover đã dẫn Gauss đến khám phá ra phân bố Gaussian dùng trong miêu tả sai số phép đo. Nó cũng dẫn ông đến một lĩnh vực mới là hình học vi phân, một phân ngành toán học làm việc với các đường cong và bề mặt. Ông đã tìm thấy một định lý quan trọng cho ngành này, theorema egregrium xây dựng một tính chất quan trọng cho khái niệm về độ cong. Một cách nôm na, định lý nói rằng độ cong của một bề mặt có thể được đo hoàn toàn bởi góc và khoảng cách trên bề mặt đó; nghĩa là, độ cong hoàn toàn không phụ thuộc vào việc bề mặt trông như thế nào trong không gian (ba chiều) bao quanh.

Cuối đời và sau đó
Năm 1831 Gauss đã có hợp tác hiệu quả với nhà vật lý học Wilhelm Weber; hai ông đã cho ra nhiều kết quả mới trong lĩnh vực từ học (trong đó có việc biểu diễn đơn vị từ học theo khối lượng, độ dài và thời gian) và sự khám phá ra định luật Kirchhoff trong điện học. Gauss và Weber đã lắp đặt được máy điện toán điện từ đầu tiên vào năm 1833, liên lạc thông tin từ đài thiên văn về viện vật lý ở Göttingen. Gauss đã cho xây một trạm quan sát từ học trong khu vườn của đài thiên văn và cùng Weber thành lập "câu lạc bộ từ học" (magnetischer Verein), phục vụ việc đo đạc từ trường Trái Đất tại nhiều nơi trên thế giới. Ông đã sáng chế ra một phương pháp đo thành phần nằm ngang của từ trường, một phương pháp được tiếp tục ứng dụng sau đó cho đến tận nửa đầu thế kỷ 20, và tìm ra một lý thuyết toán học cho việc định vị các nguồn từ trường trong lòng Trái Đất (tách biệt nguồn do lõi và vỏ Trái Đất với nguồn do từ quyển hành tinh này.

Gauss mất ở Göttingen, Hannover (nay thuộc Hạ Saxony, Đức) năm 1855 và được chôn cất tại nghĩa trang Albanifriedhof. Bộ não của ông được bảo quản và nghiên cứu bởi Robert Heinrich Wagner; nó nặng 1.492 gam và có diện tích vỏ não rộng 219.588 xentimét vuông. Trên vỏ não cũng tìm thấy nhiều nếp cuộn, một đặc điểm được nhiều người vào đầu thế kỷ 20 cho là lời giải thích cho trí tuệ đặc biệt của ông (Dunnington, 1927). Tuy nhiên, ngày nay môn não học này được cho là giả khoa học.

Jacobi



Tiểu sử

Carl Gustav Jacob Jacobi (10 tháng 12, 1804 - 18 tháng 2, 1851) là một nhà toán học người Đức, được xem là một nhà toán học lớn của mọi thời đại.

Ông sinh ra trong một gia đình Do Thái ở Potsdam. Ông học tại Đại học Berlin, nơi ông đậu Ph.D vào năm 1825, luận văn của ông là về giải tích của các phân số. Vào năm 1827 ông trở thành giáo sư toán tại Đại học Königsberg, một vị trí ông nắm cho đến năm 1842. Jacobi bị ngã quỵ vì làm việc quá căng thẳng vào năm 1843. Sau đó ông ghé thăm Ý một vài tháng để lấy lại sức khỏe. Khi trở lại Berlin, ông sống bằng tiền lương hưu của hoàng gia đến khi qua đời. Jacobi được chôn cất ở một nghĩa trang trong khu Kreuzberg của thành phố Berlin, tên gọi Friedhof II der Jerusalems- und Neuen Kirchengemeinde (61 Baruther Street). Mộ của ông gần mộ của Johann Encke, một nhà thiên văn học.

Trong Cách mạng 1848 Jacobi có dính đến chính trị và không thành công trong việc trở thành một nghị sỹ đại diện cho một nhóm Tự do. Điều này đã dần đến việc ông bị mất tiền hưu hoàng gia sau khi Cách mạng bị dập tắt, nhưng uy tín và tiếng tăm ông lớn đến nổi tiền hưu được nối lại không lâu sau đó.

Đóng góp cho toán học
Jacobi viết một cuốn sách kinh điển (năm 1829) về hàm số elliptic, với nhiều ứng dụng quan trọng trong toán lý. Phương trình chuyển động dưới dạng quay (rotational form) chỉ tích phân Jacobi được trong 3 trường hợp: con lắc, phần đỉnh đối xứng của một trường trọng lực, và một vật xoay tự do, tất các cả nghiệm đều được viết dưới dạng hàm số elliptic. Xem thêm hàm số elliptic của Jacobi.

Jacobi là nhà toán học đầu tiên áp dụng hàm số elliptic vào số học, ví dụ chứng minh định lý về tổng 2 bình phương của Fermat hay là định lý về tổng 4 bình phương của Lagrange. Ông cũng chứng minh các kết quả tương tự cho 6 hay 8 bình phương. Hàm số theta của Jacobi, thường được dùng trong chuỗi hypergeometric được đặt theo tên ông.

Kepler



Johannes Kepler (27 tháng 12, 1571 – 15 tháng 11, 1630), một gương mặt quan trọng trong cuộc cách mạng khoa học, là một nhà toán học, nhà chiêm tinh học, nhà thiên văn học, và là một nhà văn ở buổi đầu của những truyện khoa học viễn tưởng người Đức. Ông nổi tiếng nhất về định luật về chuyển động thiên thể, dựa trên những công trình của ông Astronomia nova, Harmonice Mundi và cuốn sách giáo khoa Tóm tắt thiên văn học Copernicus.

Xuyên suốt cuộc đời nghề nghiệp của mình, Kepler là một giáo viên toán ở trường dòng Graz (sau này là trường đại học Graz), là người trợ lý cho Tycho Brahe, là nhà toán học ở triều đình Hoàng đế Rudolf II, giáo viên toán ở Linz, và là nhà thiên văn học của Tướng Wallenstein. Ông cũng thực hiện một công việc mang tính nền tảng về thị giác và giúp đưa vào thực hiện những phát hiện kính thiên văn của người cùng thời với ông là Galileo Galilei.

Thỉnh thoảng ông cũng được coi là "nhà vật lý học thiên thể lý thuyết đầu tiên", mặc dù Carl Sagan cũng coi ông là nhà chiêm tinh học khoa học cuối cùng.

Thơ ấu và giáo dục (1571–1594)
Kepler sinh ngày 27 tháng 12 1571 tại Thành phố tự do của Đế quốc Weil der Stadt (hiện là một phần của vùng Stuttgart ở thành bang thuộc nước Đức là Baden-Württemberg, cách trung tâm Stuttgart 30 km về phía tây). Ông nội ông từng là Thị trưởng thị trấn đó, nhưng lúc Johannes ra đời, tài sản của gia đình Kepler đã gần cạn kiệt. Cha ông sống bấp bênh với nghề lính đánh thuê, và ông đã rời bỏ gia đình khi Johannes mới năm tuổi. Ông được cho rằng đã chết trong chiến tranh ở Hà Lan. Mẹ ông, con gái một chủ quán trọ, là một người chữa bệnh bằng các loại cỏ cây sau này muốn trở thành phù thuỷ. Sinh sớm, Johannes là một đứa trẻ ốm yếu. Dù sức khỏe kém, ông rất thông minh. Khi còn nhỏ, ông thường làm những khách hàng tới quán trọ của ông ngoại ngạc nhiên vì khả năng toán học kỳ lạ của mình.

Ông làm quen với thiên văn học từ rất sớm và gắn bó nó trong cả cuộc đời. Năm 1577, khi mới 5 tuổi, ông đã quan sát Sao chổi. Ông viết rằng ông "được mẹ đưa lên một chỗ cao để nhìn nó". Năm 1580, ông quan sát một hiện tượng thiên văn khác - Nguyệt thực, Ông nhớ là đã "được gọi ra ngoài" để nhìn nó và rằng mặt trăng "có vẻ khá đỏ". Tuy nhiên bệnh đậu mùa thời trẻ đã giảm thị lực của ông, khiến ông phải chú tâm tới toán học nhiều hơn là quan sát các khía cạnh thiên văn học.

Dù khi đi học ông là một học trò xuất sắc, Kepler thường bị bắt nạt. Ông bị một đức tin ám ảnh rằng ông có thân thể ghê tởm, hoàn toàn đáng ghét, và (so với những học sinh khác) là một kẻ bị hắt hủi.

Năm 1587, sau khi học qua trường văn phạm, trường tiếng Latin, và trường dòng thấp và cao cấp theo hệ giáo dục Lutheran, Kepler bắt đầu theo học tại Trường đại học Tübingen với tư cách là sinh viên thần học, nơi ông đã chứng tỏ khả năng siêu việt về toán học và nổi tiếng là một nhà chiêm tinh tài giỏi. Dưới sự dạy dỗ của Michael Maestlin, ông học cả hệ thống Ptolemy và hệ Nhật tâm của Copernicus; Ông đã trở thành một người ủng hộ Copernicus từ lúc đó, bảo vệ thuyết nhật tâm về cả lý thuyết và mặt thần học trong những cuộc tranh luận của sinh viên. Dù ông muốn trở thành một trợ lý, gần cuối tời gian học, Kepler được tiến cử vào vị trí giáo viên toán và thiên văn học tại Trường Tin lành ở Graz, Áo. Ông nhận vị trí đó vào tháng 4, 1594, ở tuổi 23.

Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (cũng là Leibnitz hay là von Leibniz[1] (1 tháng 7 (21 tháng 6 Old Style) năm 1646 – 14 tháng 11 năm 1716) là một nhà bác học người Đức[[1]] với các tác phẩm chủ yếu viết bằng tiếng Latin và tiếng Pháp.

Ônh được giáo dục về luật và triết học, và phục vụ như là factotum cho hai gia đình quý tộc lớn người Đức, Leibniz đã đóng một vai trò quan trọng trong chính trị của châu Âu và các vấn đề ngoại giao trong thời đại của ông. Ông chiếm vị trí quan trọng ngang nhau trong cả lịch sử triết học và lịch sử toán học. Ông khám phá ra vi tích phân độc lập với Isaac Newton, và kí hiệu của ông được sử dụng rộng rãi từ đó. Ông cũng khám phá ra hệ thống số nhị phân, nền tảng của hầu hết các cấu trúc máy tính hiện đại. Trong triết học, ông được nhớ đến nhiều nhất với chủ nghĩa lạc quan, i.e., kết luận của ông là vũ trụ của chúng ta là, trong một nghĩa giới hạn, là một vũ trụ tốt nhất mà God có thể tạo ra. Ông, cùng với René Descartes và Baruch Spinoza, là một trong ba nhà lý luận (rationalist) nổi tiếng của thế kỉ 17, nhưng triết học của ông cũng nhìn ngược về truyền thống Scholastic và dự đoán trước logic hiện đại và triết học phân tích. Leibniz cũng có nhiều đóng góp lớn vào vật lý và kỹ thuật, và dự đoán những khái niệm sau này nổi lên trong sinh học, y học, địa chất, lý thuyết xác suất, tâm lý học, ngôn ngữ học, và công nghệ thông tin. Ông cũng viết về chính trị, luật, đạo đức học, thần học, lịch sử, và ngữ văn, đôi khi làm cả vài câu thơ. Đóng góp của ông trong nhiều lĩnh vực khác nhau xuất hiện rải rác trong các tạp chí và trong trên mười ngàn lá thư và những bản thảo chưa xuất bản. Nhiều bản thảo của ông được viết bằng tốc kí sử dụng sáng chế của riêng ông sử dụng số nhị phân để mã hóa các chuỗi kí tự. Cho đến nay, không có sưu tập đầy đủ về những tác phẩm và bản thảo của Leibniz, và do đó thống kê hết những thành tựu ông đạt được là không thể biết được.

Tiểu sử
Tóm tắt sự nghiệp của Leibniz:

1646-1666: những năm định hình
1666–74: Chủ yếu phục vụ cho Tuyển hầu tước (Prince-Elector) xứ Mainz, Johann Philipp von Schönborn, và bộ trưởng của ông ta, Baron von Boineburg.
1672–76. Sống ở Paris, có hai lần ghé thăm quan trọng tới London.
1676–1716. Phục vụ cho Gia tộc Hanover.
1677–98. Courtier, ban đầu cho John Frederick, Duke of Brunswick-Lüneburg, sau đó là cho anh ông ta, Duke, sau đó là Elector, Ernst August của Hanover.
1687–90. Du lịch rộng khắp Đức, Áo, và Ý, nghiên cứu cho một cuốn sách mà Elector đã thuê ông viết về lịch sử của Gia tộc Brunswick.
1698–1716: Courtier cho Elector Georg Ludwig of Hanover.
1712–14. Ở tại Wien. Được đề cử làm Cố vấn Triều đình năm 1713 bởi Charles VI, Hoàng đế Thánh chế La Mã, tại triều đình Hapsburg ở Wien.
1714–16: Georg Ludwig, khi trở thành George I của Vương quốc Anh, đã cấm Leibniz không cho theo ông tới London. Leibniz trải qua những ngày cuối đời không ai chú ý tới.

Minkowski


Hermann Minkowski (22 tháng 6, 1864 tại Kaunas, Litva - 12 tháng 1, 1909, tại Göttingen) là một nhà toán học Đức gốc Litva, người đã phát triển hình học của các số và đã sử dụng phương pháp hình học để giải các bài toán khó trong lý thuyết số, vật lý toán và lý thuyết tương đối.

Hermann Minkowski sinh tại Aleksotas (ngoại ô của Kaunas, Litva) trong một gia đình gốc Đức, Ba Lan và Do Thái. Tại Đức, ông học ở Đại học Berlin và Königsberg, nơi ông nhận học vị tiến sĩ năm 1885 dưới sự hướng dẫn của Ferdinand von Lindemann. Khi còn là sinh viên tại Königsberg, năm 1883 ông đã được nhận giải thưởng Toán học của Viện khoa học Pháp cho các công trình về lý thuyết các dạng toàn phương.

Hermann Minkowski đã dạy tại Đại học Bonn, Göttingen, Königsberg và Zurich. Tại Viện bách khoa liên bang (Federal Polytechnic Institute), nay là ETH Zurich, ông là một trong những thầy giáo của Einstein.

Dirichlet



Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13 tháng 2, 1805 – 5 tháng 5, 1859) là một nhà toán học người Đức được cho là người đưa ra định nghĩa hiện đại của hàm số.

Gia đình ông xuất thân từ thị trấn Richelette ở Bỉ, do đó mà họ của ông là "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelette", tiếng Pháp nghĩa là "chàng trai trẻ từ Richelette") được đặt theo, và đó là nơi ông nội ông sống.

Dirichlet được sinh ra ở Düren, nơi cha ông là một đứng đầu một trạm bưu điện. Ông được giáo dục ở Đức, và sau đó là Pháp, nơi ông học hỏi từ hầu hết các nhà toán học nổi tiếng nhất thời đó. Ông cũng học từ Georg Ohm. Bài báo đầu tiên của ông là về định lý Fermat bao gồm một phần của chứng minh cho trường hợp n = 5, được hoàn thiện bởi Adrien-Marie Legendre, một trong những người referees. Dirichlet cũng hoàn thiện chứng minh của ông trong cùng một thời gian; sau đó ông đã đưa ra toàn bộ lời giải cho trường hợp n = 14.

Vào năm 1831, ông thành hôn với Rebecca Henriette Mendelssohn Bartholdy, một cô gái thuộc gia đình danh giá đã chuyển đổi từ đạo Do Thái sang Thiên chúa giáo; cô là cháu gái của triết gia Moses Mendelssohn, con gái của Abraham Mendelssohn Bartholdy và là em của nhà soạn nhạc Felix Mendelssohn Bartholdy và Fanny Mendelssohn.

Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, và Rudolf Lipschitz là học trò của ông. Sau khi ông qua đời, các bài giảng của Dirichlet và các kết quả khác trong ngành số học được sưu tập, biên khảo và xuất bản bởi đồng nghiệp và cũng là bạn ông là nhà toán học Richard Dedekind dưới tựa đề Vorlesungen über Zahlentheorie (Các bài giảng về số học).

Các định lý mang tên Định lý Dirichlet:
Định lý Dirichlet về cấp số cộng (số học, đặc biệt là số nguyên tố)
Định lý Dirichlet về xấp xỉ diophantine (số học và xấp xỉ)
Định lý Dirichlet về phần tử đơn vị (số học đại số and vành)

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor


Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 tháng 3 năm 1845[1] – 6 tháng 1 năm 1918, Halle) là một nhà toán học người Đức. Ông là người nổi tiếng vì đã tạo ra lý thuyết tập hợp, lý thuyết trở thành một lý thuyết nền tảng trong toán học.

Tiểu sử
Georg Cantor sinh tại Sankt-Peterburg trong một gia đình có bố là thương gia, mẹ là một nghệ sĩ. Tài năng và lòng say mê toán học của ông đã được hình thành từ rất sớm. Sau khi tốt nghiệp phổ thông một cách xuất sắc, ông ôm ấp hoài bão đi sâu vào toán học. Ông không đi theo ước nguyện của bố (làm một kỹ sư, nghề kiếm được rất nhiều tiền vào thời bấy giờ) mà lại đi chuyên tâm nghiên cứu toán học.

1867, ông bảo vệ thành công luận án tiến sĩ tại trường Đại học Berlin. Từ năm 1869 đến năm 1905, ông tham gia giảng dạy ở trường Đại học Halle. Ông là người sáng lập nên lý thuyết tập hợp nổi tiếng, một đóng góp to lớn vào cuộc cách mạng trong viết sách và giảng dạy toán.

1925, David Hilbert, một nhà toán học lỗi lạc của thế kỷ 20, đã nhận xét: "Tôi đã tìm thấy trong các công trình của ông vẻ đẹp của hoa và trí tuệ. Tôi nghĩ rằng đó là đỉnh cao của hoạt động trí tuệ con người". Sức khỏe ông bắt đầu giảm sút từ năm 40 tuổi; thế nhưng, trong thời gian đó, ông vẫn hoàn thành được một số công trính toán học quan trọng.

DAVID HILBERT Nhà Toán học lớn của Đức
Konigsberg 1862 - Gottingen 1943


Nhà Toán học Đức David HILBERT đã từng sống qua thời niên thiếu ở Konigsberg,kết bạn với MINKOWSKI từ lúc còn ngồi ghế nhà trường,và cũng chính ở thành phố quê hương này ông được bổ nhiệm dạy Đại học từ năm 22 tuổi rồi nhanh chóng nổi tiếng.Từ năm 1895 ông dạy ở Đại học Gottingen cho đến 1930 nhưng vẫn giữ đều liên lạc với thế giới toán học.Nhưng thời bấy giờ chủ nghĩa phát xít Hitler đã là một đám mây đen phủ lên bầu trời nước Đức.Các nhà Khoa học bạn bè của ông có nguồn gốc Do Thái,một số bị giết hại,một số bị chết dần ở trại tập trung,một số lánh nạn sang Hoa Kỳ hoặc một nơi nào đó.

HILBERT quan tâm đến hầu như tất cả các lĩnh vực của Toán học,lý thuyết cũng như ứng dụng.Nhưng ông chú ý nhieu đến Lý thuyết Số,Cơ sở Toán học,Lý thuyết Phương trình vi phân,Hình học,ngoài ra ông còn quan tâm đến Vật lý-Toán,đến bài toán ba vật thể.Nhưng đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris(1900) 23 bài toán nổi tiếng,mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX.Hơn 100 năm trôi qua đã minh chứng cho ý kiến của HILBERT là đúng và một số những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn "cảm hứng" cho các nhà Toán học thế kỷ XXI! Nhưng HILBERT mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng "Lý thuyết các bất biến" và đó cũng là nội dung Luận án của ông.Trước HILBERT,các nhà Toán học CAYLEY và GORDAN cũng đã nhận xét rằng:trong mọi trường hợp,các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của chúng.HILBERT tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn(problème de finitude) trong các vành đa thức.HILBERT chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên.Tập các đa thức thích hợp tạo thành một idéal của vành cac đa thức có p bất định.Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn.Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức.Có lần,HILBERT chứng minh lại những kết quả mà GORDAN đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi GORDAN phải thốt lên:"Đây không còn là Toán học nữa mà là 'Thần học'",có lần GORDAN khoái chí:"Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng 'Thần học' đôi lúc cũng có lợi đấy chứ",và vì vốn khâm phục HILBERT từ trước nên GORDAN tiếp tục những công việc của HILBERT.HILBERT quay về Lý thuyết số.Năm 1893,ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt(số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào)dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles HERMITE(1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand LINDEMANN(1852-1939)người Đức đã chứng minh được đối với π(và từ kết quả này LINDEMANN chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas).Sau đó,HILBERT cũng chứng minh được conjecture(phỏng đoán) của WARING.Người ta còn biết ơn HILBERT về các conjectures(bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của HILBERT đề xướng)đã mở đường cho TAKAGI,ARTIN,CHEVALLEY.

HILBERT còn tổng quát hoá bài toán của DIRICHLET(bài toán 20).Phương pháp mà ông dùng năm 1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này,và chính COURANT là một trong những ngươi biết tận dụng.Năm 1901 HILBERT quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà POINCARÉ đã đặt ra(bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới.HILBERT còn chứng minh lại những kết quả của FREDHOLM nhờ sự trực giao hoá các hệ phương trình.Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học Phi EUCLIDE gợi ý,ông đã đưa ra "những dạng toàn phương" có vô số số hạng.Điều này cần cho sự hội tụ của các bình phương của các thành phần.Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự "đầy đủ hoá"(complétude) và để ý đến phổ các toán tử.Chính vì thế mà SCHMIDT và VON NEUMANN lấy lại ý kiến của ông để lâp nên Lý thuyết về các không gian HILBERT.

Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học,HILBERT được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề,áp dụng vào các đối tượng và ý nghĩa được xem la thứ yếu(PEANO được xem là đồng minh tích cực của ông trong lĩnh vực này).Chính vì vậy mà HILBERT đã lập ra Hình học bằng một hệ Tiên đề.Ông đã bổ sung cho Hình học EUCLIDE những Tiên đề ẩn tàng(implicite).Để chứng minh cho sự cách biệt giữa thực tế vật lý của thế giới và sự Tiên đề hóa này,ông đưa ra ý nghĩ độc đáo rằng theo cách suy nghĩ và cách làm của ông thì ta có thể nghĩ:điểm có thể là một ly bia hay đường thẳng là một cái bàn; và như vậy thì khi Tiên đề được nghiệm đúng thí kết luận cũng sẽ đúng.Những định lý của GODEL đã cho một cú quyết định vào hy vọng của ông sáng tạo một lý thuyết mới bằng cách chứng tỏ sự phi mâu thuẫn của nó.Cả cuộc đời,HILBERT luôn quan tâm đến sự tổng quát hoá và không ngừng tìm ra phương pháp mới để đưa thế giới Toán học tiến lên,vì vậy ông được giới Toán học tôn vinh là nhà Toán học của thế kỷ,có vai trò cơ bản trong sự nghiệp phát triển Toán học thế giới.

Hai mươi ba bài toán của David HILBERT(Bài toán đã có lời giải được đánh dấu * )

- *Bài toán 1:
Giả thuyết continuum có được nghiệm đúng? Có thể có một thứ tự tốt trên?

- *Bài toán 2:
Có thể chứng minh bằng các phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững của Số học?

- *Bài toán 3:
Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?

- Bài toán 4:
Hãy tìm các Hinh học trong đó đường ngắn nhất đi từ điểm này đến điểm kia là đoạn thẳng?

- *Bài toán 5:
Có những nhóm LIE liên tục không? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần trong định nghĩa nhóm LIE?

- Bài toán 6:
Có thể toán học hoá các Tiên đề trong Vật lý? (Câu hỏi này chưa thật thích hợp với quan niệm hiện đại về 2 môn Toán và Lý).

- *Bài toán 7:
Ta nói gì về tính siêu việt của ab với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?

- Bài toán 8:
giả thiết RIEMANN
Tất cả các zéros ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½ .

- *Bài toán 9:
Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A.Với a thuộc A,ta ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo toàn phương,nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J.

- *Bài toán 10:
Có thể nào tìm được một thuật toán giúp ta xác định,sau một số hữu hạn bước,rằng một phương trình DIOPHANTE có nghiệm nguyên? (Bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ các hàm đệ quy).

- *Bài toán 11:
Hãy thiết lập bảng phân loại các dạng toàn phương có hệ số trong một vành các số nguyên đại số.

- Bài toán 12:
Hãy tổng quát hoá bài toán số 9 và nghiên cứu cách xây dựng các trường của lớp.

- *Bài toán 13:
Người ta chứng tỏ rằng ở bậc n=6 các nghiệm của phương trình bậc n được biểu diễn như là sự chồng chất(superposition)các hàm liên tục có 2 biến của các hệ số của phương trình .Ví dụ các nghiệm của phương trình xX²+2Yx+z=0 được viết dưới dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz và f(y,u)=-y±√(y²-u).Kết quả này sẽ sai trong trường hợp n=7

- *Bài toán 14:
Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X1...Xn).Ta giả sử rằng L con M.Giao L∩K[X1...Xn] có phải là một Đại số hữu hạn không?

- *Bài toán 15:
Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu trong khuôn khổ của Hình học-Đại số).

- Bài toán 16:
Hãy nghiên cứu sự sắp đặt các nhánh của một đường cong không kỳ dị,đặc biệt là các đường cong tích phân của những phương trình vi phân xác định bởi đa thức homogènes(đẳng cấp)bậc n.

- *Bài toán 17:
Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương hoặc bằng 0 tại miền xác định của nó,có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các phân số hữu tỷ?

- *Bài toán 18:
Tìm các pavages của không gian Rⁿbằng những đa diện congruents(toàn đẳng).

- Bài toán 19:
Hãy nghiên cứu tính chất giải tích của các nghiệm của phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng.

- *Bài toán 20:
HILBERT đề nghị tổng quát hóa bài toán của DIRICHLET cho những lớp hàm rộng hơn.

- *Bài toán 21:
Hãy mở rộng công trình của FUCHS vào nghiên cứu các phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện cho truớc.

- *Bài toán 22:
Hãy chính xác hóa chứng minh của POINCARÉ về tính đều hóa các hàm giải tích phức.

- Bài toán 23:
Hãy nghiên cứu tính trơn(régularité)của các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ phép tính biến thiên.

DAVID HILBERT Nhà Toán học lớn của Đức
Konigsberg 1862 - Gottingen 1943


Nhà Toán học Đức David HILBERT đã từng sống qua thời niên thiếu ở Konigsberg,kết bạn với MINKOWSKI từ lúc còn ngồi ghế nhà trường,và cũng chính ở thành phố quê hương này ông được bổ nhiệm dạy Đại học từ năm 22 tuổi rồi nhanh chóng nổi tiếng.Từ năm 1895 ông dạy ở Đại học Gottingen cho đến 1930 nhưng vẫn giữ đều liên lạc với thế giới toán học.Nhưng thời bấy giờ chủ nghĩa phát xít Hitler đã là một đám mây đen phủ lên bầu trời nước Đức.Các nhà Khoa học bạn bè của ông có nguồn gốc Do Thái,một số bị giết hại,một số bị chết dần ở trại tập trung,một số lánh nạn sang Hoa Kỳ hoặc một nơi nào đó.

HILBERT quan tâm đến hầu như tất cả các lĩnh vực của Toán học,lý thuyết cũng như ứng dụng.Nhưng ông chú ý nhieu đến Lý thuyết Số,Cơ sở Toán học,Lý thuyết Phương trình vi phân,Hình học,ngoài ra ông còn quan tâm đến Vật lý-Toán,đến bài toán ba vật thể.Nhưng đặc biệt là ông đã trình bày tại Hội nghị Toán học ở Paris(1900) 23 bài toán nổi tiếng,mà theo ông là những hướng nghiên cứu Toán học lý thú cho các nhà Toán học thế giới ở thế kỷ XX.Hơn 100 năm trôi qua đã minh chứng cho ý kiến của HILBERT là đúng và một số những bài toán còn lại chưa có người giải được vẫn còn là nguồn "cảm hứng" cho các nhà Toán học thế kỷ XXI! Nhưng HILBERT mở đầu cho sự nghiệp Toán học của đời mình bằng "Lý thuyết các bất biến" và đó cũng là nội dung Luận án của ông.Trước HILBERT,các nhà Toán học CAYLEY và GORDAN cũng đã nhận xét rằng:trong mọi trường hợp,các bất biến là những đa thức của một số hữu hạn của chúng.HILBERT tìm cách hình thức hoá kết quả này và đưa đến một bài toán về sự hữu hạn(problème de finitude) trong các vành đa thức.HILBERT chứng tỏ rằng người ta có thể tìm được một số p các bất biến sao cho mọi bất biến là một đa thức của các bất biến nói trên.Tập các đa thức thích hợp tạo thành một idéal của vành cac đa thức có p bất định.Vấn đề còn lại là chứng tỏ rằng mọi idéal của một vành đa thức trên một trường là có dạng hữu hạn.Lý thuyết các bất biến không còn nữa và trở nên một trường hợp riêng của việc khảo sát các vành đa thức.Có lần,HILBERT chứng minh lại những kết quả mà GORDAN đã làm nhưng đơn giản và hay hơn đến nỗi GORDAN phải thốt lên:"Đây không còn là Toán học nữa mà là 'Thần học'",có lần GORDAN khoái chí:"Tôi hoàn toàn bị chinh phục rằng 'Thần học' đôi lúc cũng có lợi đấy chứ",và vì vốn khâm phục HILBERT từ trước nên GORDAN tiếp tục những công việc của HILBERT.HILBERT quay về Lý thuyết số.Năm 1893,ông đã đưa ra một chứng minh đơn giản rằng cơ số e của logarithe Neper và π(pi) là 2 số siêu việt(số siêu việt là số mà nó không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào)dù rằng trước đó nhà Toán học người Pháp Charles HERMITE(1822-1901) đã chứng minh e là số siêu việt và Ferdinand LINDEMANN(1852-1939)người Đức đã chứng minh được đối với π(và từ kết quả này LINDEMANN chứng minh việc cầu phương một hình tròn là không làm được bằng thước và compas).Sau đó,HILBERT cũng chứng minh được conjecture(phỏng đoán) của WARING.Người ta còn biết ơn HILBERT về các conjectures(bài toán 7 và 9 trong 23 bài toán của HILBERT đề xướng)đã mở đường cho TAKAGI,ARTIN,CHEVALLEY.

HILBERT còn tổng quát hoá bài toán của DIRICHLET(bài toán 20).Phương pháp mà ông dùng năm 1900 đã mở đường cho một cách tiếp cận mới loại bài toán mới này,và chính COURANT là một trong những ngươi biết tận dụng.Năm 1901 HILBERT quay về Lý thuyết Phương trình tích phân và quan tâm nghiên cứu đến bài toán mà POINCARÉ đã đặt ra(bài toán 20). Ngay ở đó người ta cũng thấy manh nha nhiều phương pháp mới.HILBERT còn chứng minh lại những kết quả của FREDHOLM nhờ sự trực giao hoá các hệ phương trình.Ông đã tìm cách hình thức hoá cách tiến hành và nhờ Hình học Phi EUCLIDE gợi ý,ông đã đưa ra "những dạng toàn phương" có vô số số hạng.Điều này cần cho sự hội tụ của các bình phương của các thành phần.Ông còn có sáng kiến đưa ra khái niệm về sự "đầy đủ hoá"(complétude) và để ý đến phổ các toán tử.Chính vì thế mà SCHMIDT và VON NEUMANN lấy lại ý kiến của ông để lâp nên Lý thuyết về các không gian HILBERT.

Trong khi thiết lập các cơ sở Toán học,HILBERT được xem như người đứng đầu phái những nhà Toán học có tư tưởng hình thức nghĩa là những nhà Toán học xây dựng Lý thuyết trên cơ sở Tiên đề,áp dụng vào các đối tượng và ý nghĩa được xem la thứ yếu(PEANO được xem là đồng minh tích cực của ông trong lĩnh vực này).Chính vì vậy mà HILBERT đã lập ra Hình học bằng một hệ Tiên đề.Ông đã bổ sung cho Hình học EUCLIDE những Tiên đề ẩn tàng(implicite).Để chứng minh cho sự cách biệt giữa thực tế vật lý của thế giới và sự Tiên đề hóa này,ông đưa ra ý nghĩ độc đáo rằng theo cách suy nghĩ và cách làm của ông thì ta có thể nghĩ:điểm có thể là một ly bia hay đường thẳng là một cái bàn; và như vậy thì khi Tiên đề được nghiệm đúng thí kết luận cũng sẽ đúng.Những định lý của GODEL đã cho một cú quyết định vào hy vọng của ông sáng tạo một lý thuyết mới bằng cách chứng tỏ sự phi mâu thuẫn của nó.Cả cuộc đời,HILBERT luôn quan tâm đến sự tổng quát hoá và không ngừng tìm ra phương pháp mới để đưa thế giới Toán học tiến lên,vì vậy ông được giới Toán học tôn vinh là nhà Toán học của thế kỷ,có vai trò cơ bản trong sự nghiệp phát triển Toán học thế giới.

Hai mươi ba bài toán của David HILBERT(Bài toán đã có lời giải được đánh dấu * )

- *Bài toán 1:
Giả thuyết continuum có được nghiệm đúng? Có thể có một thứ tự tốt trên?

- *Bài toán 2:
Có thể chứng minh bằng các phương pháp hữu hạn(procédés finistes)sự bền vững của Số học?

- *Bài toán 3:
Có thể ứng dụng phương pháp phân tích thành đa diện để tính thể tích được không?

- Bài toán 4:
Hãy tìm các Hinh học trong đó đường ngắn nhất đi từ điểm này đến điểm kia là đoạn thẳng?

- *Bài toán 5:
Có những nhóm LIE liên tục không? Nói cách khác,giả thiết tính khả vi có cần trong định nghĩa nhóm LIE?

- Bài toán 6:
Có thể toán học hoá các Tiên đề trong Vật lý? (Câu hỏi này chưa thật thích hợp với quan niệm hiện đại về 2 môn Toán và Lý).

- *Bài toán 7:
Ta nói gì về tính siêu việt của ab với a là đại số,b là vô tỷ khác 0?

- Bài toán 8:
giả thiết RIEMANN
Tất cả các zéros ảo của hàm dzeta có một phần ảo là ½ .

- *Bài toán 9:
Cho A là vành các số nguyên của một trường đại số và J là một idéal nguyên tố của A.Với a thuộc A,ta ký hiệu L(J/a) là số nghiệm của phương trình x²≡a(mod j) trừ đi 1.Đây là bài toán về tính nghịch đảo toàn phương,nghĩa là dáng điệu của L(J/a) phụ thuộc vào J.

- *Bài toán 10:
Có thể nào tìm được một thuật toán giúp ta xác định,sau một số hữu hạn bước,rằng một phương trình DIOPHANTE có nghiệm nguyên? (Bài toán này được nghiên cứu trong khuôn khổ các hàm đệ quy).

- *Bài toán 11:
Hãy thiết lập bảng phân loại các dạng toàn phương có hệ số trong một vành các số nguyên đại số.

- Bài toán 12:
Hãy tổng quát hoá bài toán số 9 và nghiên cứu cách xây dựng các trường của lớp.

- *Bài toán 13:
Người ta chứng tỏ rằng ở bậc n=6 các nghiệm của phương trình bậc n được biểu diễn như là sự chồng chất(superposition)các hàm liên tục có 2 biến của các hệ số của phương trình .Ví dụ các nghiệm của phương trình xX²+2Yx+z=0 được viết dưới dạng f(y,h(x,z) với h(x,z)=xz và f(y,u)=-y±√(y²-u).Kết quả này sẽ sai trong trường hợp n=7

- *Bài toán 14:
Cho K là một trường,L là một sự nới rộng của K va M=K(X1...Xn).Ta giả sử rằng L con M.Giao L∩K[X1...Xn] có phải là một Đại số hữu hạn không?

- *Bài toán 15:
Hãy cho một cơ sở chặt chẽ vào kết quả dùng tính liên tục trong những bài toán Hình có dạng: Tìm số đường thẳng của không gian gặp 4 đường thẳng cho trước? (Bài toán này ngày nay được nghiên cứu trong khuôn khổ của Hình học-Đại số).

- Bài toán 16:
Hãy nghiên cứu sự sắp đặt các nhánh của một đường cong không kỳ dị,đặc biệt là các đường cong tích phân của những phương trình vi phân xác định bởi đa thức homogènes(đẳng cấp)bậc n.

- *Bài toán 17:
Mọi phân số hữu tỷ có hệ số thực,dương hoặc bằng 0 tại miền xác định của nó,có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các phân số hữu tỷ?

- *Bài toán 18:
Tìm các pavages của không gian Rⁿbằng những đa diện congruents(toàn đẳng).

- Bài toán 19:
Hãy nghiên cứu tính chất giải tích của các nghiệm của phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo hàm riêng.

- *Bài toán 20:
HILBERT đề nghị tổng quát hóa bài toán của DIRICHLET cho những lớp hàm rộng hơn.

- *Bài toán 21:
Hãy mở rộng công trình của FUCHS vào nghiên cứu các phương trình vi phân thoả mãn những điều kiện cho truớc.

- *Bài toán 22:
Hãy chính xác hóa chứng minh của POINCARÉ về tính đều hóa các hàm giải tích phức.

- Bài toán 23:
Hãy nghiên cứu tính trơn(régularité)của các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ phép tính biến thiên.


Julius Wilhelm Richard DEDEKIND
(Brunswick 1831 - Brunswick 1916)

Nhà Toán học Đức Richard DEDEKIND là con thứ tư của một Giáo sư Luật học. Ban đầu ông học Lý - Hoá nhưng ông nhanh chóng chuyển sang Toán học một phần lớn vì ông thích tính lý luận chặt chẽ của môn khoa học này. Ông đến Đại học Gottingen theo học các giáo trình của GAUSS và DIRICHLET. Ông được công tác ở Gottingen vào những năm 1854, 1855, rồi ở Đại học bách khoa 1858 - 1862 trước khi trở về trường kỹ thuật ở quê nhà Brunswick cho đến ngày nghỉ dạy năm 1894. Đặc điểm của gia đình ông là các anh chị em ông đều sống độc thân cũng như ông.

Công trình nghiên cứu Toán học của ông thật bao la. Cùng với các nhà Toán học KUMMER và KRONECKER ông sáng lập nên Lý thuyết các số đại số, cùng với nhà Toán học Heinrich WEBER ông đưa ra những phương pháp hoàn toàn đại số để nghiên cứu các đường cong. Phương pháp xây dựng số thực của DEDEKIND rất gần với phương pháp của MÉRAY và CANTOR.

Ông đã từng phát hiện một số thiếu sót của các nhà Toán học khác ví dụ ông cho rằng để trình bày khái niệm giới hạn mà chỉ dựa duy nhất vào khảo sát hình học là chưa được. Ông cho rằng các định nghĩa của GALILLÉ và LEIBNIZ về liên tục là sai: giữa hai số hữu tỷ luôn luôn có một số thứ ba hơn nữa tập hợp các số hữu tỷ không phải là một continuum. Điều này dẫn ông tới sáng tạo các số thực bằng phương pháp nhát cắt (theo DEDEKIND: Các số là những sáng tạo tự do của trí tụê loài người). Một số thực được xác định bởi sự cho trước một bộ phận của tập hợp các số hữu tỷ tạo nên bởi một lớp kết thúc và một lớp mở đầu. DEDEKIND định nghĩa trên tập hợp các số có được bằng cách lấy một số thứ tự, một phép cộng, một phép nhân mà các tính chất của chúng đặc trưng cho số thực. Năm 1871 DEDEKIND cho xuất bản tác phẩm của DIRICHLET với nhan đề Zahlentheorie kèm theo một phụ lục trong đó ông định nghĩa các số đại số bằng cách tổng quát hóa định nghĩa của KUMMER và chứng minh rằng chúng lập thành một trường. Ông đưa ra khái niệm vành nguyên đại số và lưu ý rằng sự duy nhất trong phân tích thành thừa số nguyên tố không còn giá trị trong các vành này. Để làm được việc đó, năm 1879 ông đưa ra khái niệm idéaux (để nhớ tới các số idéaux của KUMMER) và ông định nghĩa tổng, tích các idéaux đồng thờ tính duy nhất trong sự phân tích thành idéaux nguyên tố. Ông cùng với WEBER áp dụng các khái niệm mới ấy vào nghiên cứu các đường cong đại số và hai nhà Toán học này đứng tên chung một bài báo năm 1882 và đây chính là tiếp cận của lĩnh vực Hình học Đại số ngày nay nhưng thời ấy DEDEKIND và WEBER cho rằng đó là tiếp cận số học của lĩnh vực Hình học.

Từ những bức thư trao đổi giữa hai nhà Toán học DEDEKIND và CANTOR đã ra đời Lý thuyết tập hợp. Trong tác phẩm Was sind und was sollen die Zahlen DEDEKIND đã trình bày những khái niệm cơ bản của Lý thuyết tập hợp mà ông đã dùng để "tạo nên" dãy các số nguyên tự nhiên, và định nghĩa khái niệm hữu hạn là vô hạn: một tập hợp là vô hạn nếu nó có quan hệ đóng đôi (équipotent) với một trong những bộ phận thực sự của nó ; trường hợp hữu hạn là ngược lại. Ngoài ra ông còn xây dựng một cách chính xác lối lập luận bằng truy chứng. Ông định nghĩa khái niệm ánh xạ của một tập hợp vào trong một tập hợp một cách tổng quát và ông đã đưa ra khái niệm dây (chaine) giúp cho ZERMELO chứng minh được định lý về sắp xếp thứ tự tốt.

Karl Theodor Wilhelm WEIERSTRASS
cha đẻ của Giải tích hiện đại
Westphalie 1815 - Berlin 1897

Ông là người Đức, sinh trưởng trong một gia đình công giáo, WEIERSTRASS là anh cả của 3 người em không một ai chịu lập gia đình riêng do tính gia đình trị của ông cha. Hồi còn học Trung học, ông học rất giỏi, cha ông cho ông học Luật và Tài chính ở Bonn. WEIERSTRASS không thấy hứng thú gì với những môn đang học bèn bỏ đi Munster, ở đó ông gặp được Christophe GUDERMANN, rất tâm đầu ý hợp với WEIERSTRASS trong thú say mê Toán học. Ông tìm được một chỗ dạy ở trường Trung học Bonn cho đến năm 1856 là năm đánh dấu một chuyển biến quan trọng trong sự nghiệp dạy Toán và nghiên cứu Toán của ông. Ông là một thầy Toán dạy rất hay do những năm ông tích lũy kinh nghiệm sư phạm khi còn dạy Trung học.

Những công trình đầu tiên của ông thuộc về các Tích phân elliptiques và Hàm ABEL. Ông nghiên cứu một phương pháp xây dựng chặt chẽ các số thực từ năm 1863 nhưng mãi đến năm 1872 mới công bố và người ta nghĩ rằng ông tranh thủ những ý tưởng của MÉRAY, CANTOR, DEDEKIND. Ông xây dựng nhiều hàm số thực và phức mới từ các chuỗi nguyên và các tích vô tận (produits infinis). Muốn thực hiện ý tưởng đó ông đưa ra khái niệm hội tụ đều năm 1842. Năm 1846 ông đưa ra một ví dụ về hàm liên tục nhưng không khả vi. Năm 1885, ông công bố định lý nổi tiếng của ông về xấp xỉ đa thức đều (approximation polynominale uniforme) cho một hàm số liên tục trên một đoạn, định lý này được một nhà Toán học Mỹ Marshall STONE tổng quát hoá năm 1937 trong trường hợp Hàm lấy giá trị thực hay phức liên tục trên một compact. Karl WEIERSTRASS còn quan tâm đến Đại số tuyến tính là một ngành Toán học khá phát triển vào cuối thế kỷ XIX. Chính ông là người đầu tiên đã định nghĩa định thức của một ma trận được xem như một đa thức đồng nhất (homogène), tuyến tính đối với mỗi hàng, mỗi cột, đổi dấu khi ta hoán vị hai cột và bằng 1 đối với hằng đẳng thức.

Karl WEIERSTRASS được mệnh danh là cha đẻ của Giải tích hiện đại có lẽ vì ông yêu cầu tính chặt chẽ rất cao. Chính ongo là người đầu tiên định nghĩa sự liên tục bằng các epsilon. WEIERSTRASS thường ít công bố kết quả nghiên cứu của mình, nhưng người ta biết đến những kết quả ấy nhờ thông qua những bài giảng của ông do học trò ghi lại, và trong số học trò ông có những nhà Toán học xuất sắc sau này như LINDEMANN, HEINE ...